Inegalitatea lui Bessel

Inegalitatea lui Bessel este, în analiza funcțională, o teoremă referitoare la legătura dintre coeficienții unui element X dintr-un spațiu Hilbert și un șir ortonormal. Poartă numele matematicianului german Friedrich Wilhelm Bessel.

Fie $H$ un spațiu Hilbert și să presupunem că $e_1,e_2,...$ este un șir ortonormat în $H$. Atunci, pentru orice $x$ in $H$ avem:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|⟨x,e_k⟩\right|}^2\le {\Vert x\Vert }^2$ unde <∙,∙> semnifică produsul intern în cadrul spațiului Hilbert $H$.

Dacă definim suma infinită:

$x^{\prime }=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}⟨x,e_k⟩e_k,$

fiind suma infinită a proiecțiilor vectorilor $x$ pe direcția $e_k$, inegalitatea lui Bessel conduce deci la concluzia că această serie este convergentă.

Inegalitatea lui Bessel rezultă din identitatea:

${\Vert x-\sum _{k=1}^n⟨x,e_k⟩e_k\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-2\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2+\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2=\Vert x{\Vert }^2-\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2,$

valabilă pentru orice $n$, cu excepția cazului când $n$ este mai mic decât 1.