Inegalitatea lui Bernoulli

Graficele funcțiilor
$y=(1+x{)}^r$  , în roșu
$y=1+rx$  , în albastru.
S-a luat   $r=3$

Inegalitatea lui Bernoulli, atribuită lui Jakob Bernoulli (1654 - 1705), reprezintă una din inegalitățile care stau la baza teoretică a analizei matematice.

Enunț

Dacă $x,r\in ℝ$,   cu  $x\ge -1$ și   $r\ge 1$,   atunci:

$(1+x{)}^r\ge 1+rx$ .

Demonstrație

Cazul $r\in \mathbb{Z}$

Se aplică metoda inducției complete infinite din aproape în aproape, metodă numită inducție matematică.

Pentru $r=0$, inegalitatea este echivalentă $1\ge 1$  , ceea ce este evident. Acesta este cazul de pornire al metodei inducției infinite.

Presupunând că inegalitatea se verifică pentru $r=n$ se demonstrează valabilitatea implicației și pentru $r=n+1$. Acesta este pasul inductiv al metodei.

Din $(1+x{)}^n\ge 1+nx$ rezultă

$(1+x)(1+x{)}^n\ge (1+x)(1+nx)$

și aceasta deoarece $(1+x)\ge 0$.

$⟺$

$(1+x{)}^{n+1}\ge 1+nx+x+n{x}^2$

$⟺$ $(1+x{)}^{n+1}\ge 1+(n+1)x+n{x}^2$ .

Cum însă $1+(n+1)x+n{x}^2\ge 1+(n+1)x$

(  deoarece $n{x}^2\ge 0$  )

rezultă

$(1+x{)}^{n+1}\ge 1+(n+1)x$

așadar, propoziția este valabilă și pentru $r=n+1$

Cazul $r\in ℝ$

În acest caz, se va face apel la noțiunea de serie binomială care se poate aplica pentru exponenți fracționari.

Bibliografie

• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

Legături externe

• Format:En icon Inegalitatea la MathWorldFormat:Legătură nefuncțională
• Format:En icon Inegalitatea la PlanetMath.orgFormat:Legătură nefuncțională