Curbură Ricci

În geometria diferențială, tensorul de curbură Ricci, numit după Gregorio Ricci-Curbastro, reprezintă cantitatea prin care volumul unei porțiuni conice înguste, dintr-o bilă geodezică mică, într-o Format:Ill-wd curbată diferă față de cea a bilei standard din spațiul euclidian. Ca atare, ea oferă o modalitate de a măsura gradul în care geometria determinată de o anumită Format:Ill-wd poate fi diferită de cea a Format:Mvar-spațiului euclidian. Tensorul Ricci este definit pe orice Format:Ill-wd, ca urmă a tensorului de curbură Riemann . Ca și în cazul metricii însăși, tensorul Ricci este o Format:Ill-wd pe Format:Ill-wd al varietății Format:Harvard citation.

În teoria relativității, tensorul Ricci este partea din curbura spațiului care determină gradul în care materia va avea tendința să conveargă sau să diveargă în timp (prin Format:Ill-wd). El este legat de conținutul materiei din univers prin intermediul ecuației de câmp Einstein. În geometria diferențială, limitele inferioare ale tensorului Ricci pe o varietate riemanniană permit să se extragă informații geometrice și topologice globale prin comparație (conform Format:Ill-wd) cu geometria unei Format:Ill-wd de curbură constantă. Dacă tensorul Ricci satisface ecuația lui Einstein în vid, atunci varietatea este o Format:Ill-wd, care a fost extensiv studiată (cf. Format:Harvnb). În acest sens, ecuația Format:Ill-wd guvernează evoluția unei metrici date în raport cu o metrică Einstein; modul precis în care se produce acest lucru duce în cele din urmă la rezolvarea conjecturii Poincaré.

Definiție

Se presupune că Format:Math este o Format:Ill-wd Format:Mvar-dimensională, echipată Format:Ill-wd Format:Math. Tensorul curburii riemanniene al lui Format:Mvar este Format:Nowrap-tensorul definit de

$R(X,Y)Z={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}Z$$R(X,Y)Z={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}Z$$R(X,Y)Z={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}Z$

pe câmpurile de vectori Format:Math. Cu Format:Mvar se notează Format:Ill-wd la Format:Mvar într-un punct Format:Mvar. Pentru orice pereche de vectori tangenți Format:Mvar și Format:Mvar din Format:Mvar, tensorul Ricci Format:Math evaluat în Format:Math este definit a fi urma aplicației liniare Format:Math dată de

$\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi .$

În Format:Ill-wd (folosind Format:Ill-wd ), avem

$\mathrm{Ric}=R_{ij}d{x}^i\otimes d{x}^j$$\mathrm{Ric}=R_{ij}d{x}^i\otimes d{x}^j$$\mathrm{Ric}=R_{ij}d{x}^i\otimes d{x}^j$

unde

$R_{ij}={R^k}_{ikj}.$

În termeni de tensor de curbură Riemann și Format:Ill-wd, avem

$R_{\alpha \beta }={R^{\rho }}_{\alpha \rho \beta }={\partial }_{\rho }{{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }}_{\beta \alpha }-{\partial }_{\beta }{{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }}_{\rho \alpha }+{{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }}_{\rho \lambda }{{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }}_{\beta \alpha }-{{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }}_{\beta \lambda }{{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }}_{\rho \alpha }=2{{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }}_{\alpha [\beta ,\rho ]}+2{{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }}_{\lambda [\rho }{{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }}_{\beta ]\alpha }.$

Datorită simetriilor tensorului de curbură Riemann, este posibil să existe un dezacord asupra Format:Ill-wd, deoarece

$R_{\alpha \beta }=-{R^{\rho }}_{\alpha \beta \rho }$,

Proprietăți

Ca o consecință a Format:Ill-wd, tensorul Ricci al unei varietăți riemanniene este Format:Ill-wd, în sensul că

$\mathrm{Ric}(\xi ,\eta )=\mathrm{Ric}(\eta ,\xi ).$

Rezultă astfel că tensorul Ricci este complet determinat prin cunoașterea cantității Format:Math pentru toți vectorii Format:Mvar de lungime unitară. Această funcție definită pe mulțimea de versori tangenți este adesea pur și simplu numită curbură Ricci, deoarece a o cunoaște pe ea este echivalent cu a cunoaște tensorul de curbură Ricci.

Curbura Ricci este determinată de curburile secționale ale unei varietăți riemanniene, dar în general conține mai puține informații. Într-adevăr, dacă Format:Mvar este un vector de lungime unitate pe o Format:Mvar-varietate riemanniană, atunci Format:Math este exact de Format:Math ori valoarea medie a curburii secționale, luată pe toate 2-planurile care conțin Format:Mvar . Există o familie Format:Math -dimensională a unor astfel de 2-planuri și deci numai în dimensiunile 2 și 3 tensorul Ricci determină tensorul complet al curburii. O excepție notabilă este atunci când varietatea este dată a priori ca o hipersuprafață a spațiului euclidian. Format:Ill-wd, care determină curbura completă prin Format:Ill-wd, este ea însăși determinată de tensorul Ricci, iar Format:Ill-wd ale suprafeței superioare sunt și direcțiile proprii ale tensorului Ricci. Tensorul a fost introdus de Ricci din acest motiv.

În cazul în care funcția de curbură Ricci, Format:Math este constantă pe mulțimea versorilor tangenți Format:Mvar, varietatea riemanniană este considerată a avea o curbură Ricci constantă sau a fi o Format:Ill-wd. Acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă tensorul Ricci Ric este un multiplu constant al tensorului metric Format:Mvar.

Curbura Ricci este considerată utilă ca multiplu al laplacianului tensorului metric Format:Harvard citation. În mod specific, în coordonatele locale Format:Ill-wd, componentele satisfac

$R_{ij}=-\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }\left(g_{ij}\right)+\text{termeni de ordin inferior},$

Unde $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }$ este Format:Ill-wd, considerat ca acționând asupra funcțiilor Format:Mvar. Acest fapt motivează, de exemplu, introducerea ecuației Format:Ill-wd ca extindere naturală a ecuației căldurii pentru metrică. Alternativ, într-un Format:Ill-wd bazat în Format:Mvar, la punctul Format:Mvar

$R_{ij}=-\frac{2}{3}\mathrm{\Delta }\left(g_{ij}\right).$

Semnificație geometrică directă

În apropierea oricărui punct Format:Mvar dintr-o varietate riemanniană Format:Math, se pot defini coordonatele locale preferate, numite Format:Ill-wd. Acestea sunt adaptate la metrică astfel încât geodezicele prin Format:Mvar corespund liniilor drepte prin origine, astfel încât distanța geodezică de la Format:Mvar corespunde distanței euclidiene față de origine. În aceste coordonate, tensorul metric este bine aproximat de metrica euclidiană, în sensul precis că

$g_{ij}={\delta }_{ij}+O(|x{|}^2).$

De fapt, luând dezvoltarea în serie Taylor a metricii aplicate pe un câmp Jacobi de-a lungul unei geodezice radiale în sistemul normal de coordonate,

$g_{ij}={\delta }_{ij}-\frac{1}{3}{R}_{ikjl}{x}^k{x}^l+O(|x{|}^3).$

În aceste coordonate, elementul de volum metric are următoarea dezvoltare în Format:Mvar:

$d{\mu }_g=[1-\frac{1}{6}{R}_{jk}{x}^j{x}^k+O(|x{|}^3)]d{\mu }_{\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}},$

care rezultă prin dezvoltarea rădăcinii pătrate a determinantului metricii.

Astfel, dacă curbura Ricci Format:Math este pozitivă în direcția unui vector Format:Mvar, regiunea conică din Format:Mvar parcursă de o familie bine legată de segmente geodezice de lungime $\epsilon$emanând de la Format:Mvar, cu viteza inițială în interiorul unui con mic aproximativ Format:Mvar, va avea un volum mai mic decât regiunea conică corespunzătoare din spațiul euclidian, cel puțin cu condiția ca $\epsilon$ să fie suficient de mic. În mod similar, dacă curbura Ricci este negativă în direcția unui vector dat Format:Mvar, o astfel de regiune conică din varietate va avea în schimb un volum mai mare decât în spațiul euclidian.

Curbura Ricci este în esență o medie a curburilor în planele care cuprind Format:Mvar. Astfel, dacă un con emis cu o secțiune transversală inițială circulară (sau sferică) devine distorsionat într-o elipsă (elipsoid), este posibil ca distorsiunea volumului să dispară dacă distorsiunile de-a lungul axelor principale se anulează reciproc. Curbura Ricci ar dispărea apoi de-a lungul lui Format:Mvar . În aplicațiile fizice, prezența unei curburi secționale nenule nu indică neapărat prezența locală a vreunei mase; dacă o secțiune transversală inițială circulară a unui con de Format:Ill-wd devine mai târziu eliptică, fără a-și schimba volumul, atunci aceasta se datorează efectelor de maree ale unei mase din altă locație.

Aplicații

Curbura Ricci joacă un rol important în relativitatea generală, unde este termenul cheie în ecuațiile de câmp ale lui Einstein.

Curbura Ricci apare și în ecuația Format:Ill-wd, unde o metrică riemanniană dependentă de timp este deformată în direcția minus curbura Ricci. Acest sistem de ecuații diferențiale parțiale este un analog neliniar al ecuației căldurii și a fost introdus pentru prima dată de Format:Ill-wd la începutul anilor 1980. Deoarece căldura tinde să se răspândească printr-un solid până când corpul atinge o stare de echilibru de temperatură constantă, se poate spera ca fluxul Ricci să producă o geometrie de echilibru pentru o varietate pentru care curbura Ricci este constantă. Contribuțiile recente la subiect din partea lui Grigori Perelman arată acum că acest program funcționează suficient de bine în trei dimensiuni pentru a conduce la o clasificare completă a 3-varietăților compacte, de-a lungul liniei presupuse inițial de Format:Ill-wd în anii 1970.

Pe o Format:Ill-wd, curbura Ricci determină prima Format:Ill-wd a varietății (mod torsiune). Totuși, curbura Ricci nu are o interpretare topologică analogică pe o varietate riemanniană generică.

Geometria și topologia globale

Iată o scurtă listă a rezultatelor globale referitoare la varietățile cu curbură Ricci pozitivă; vezi și Format:Ill-wd . Pe scurt, curbura Ricci pozitivă a unei varietăți riemanniene are consecințe topologice puternice, în timp ce (pentru dimensiunea cel puțin 3), curbura Ricci negativă nu are implicații topologice. (Curbura Ricci este considerată a fi pozitivă dacă funcția de curbură Ricci Format:Math este pozitivă pe mulțimea vectorilor tangenți nenuli Format:Mvar.) Sunt cunoscute unele rezultate și pentru varietăți pseudo-riemanniene.

1. Format:Ill-wd afirmă că dacă curbura Ricci este limitată inferior pe o varietate riemanniană completă cu Format:Math, atunci varietatea are diametrul Format:Math, egalitatea survenind numai dacă varietatea este izometrică cu o sferă de curbură constantă Format:Mvar. Prin argumentul spațiului de acoperire, rezultă că orice varietate compactă de curbură Ricci pozitivă trebuie să aibă un Format:Ill-wd finit.
2. Format:Ill-wd afirmă că dacă o varietate completă Format:Mvar-dimensională riemanniană are o curbură Ricci nenegativă, atunci volumul unei bile este mai mic sau egal cu volumul unei bile de aceeași rază în spațiul Format:Mvar-euclidian. În plus, dacă cu Format:Math se notează volumul bilei cu centrul în Format:Mvar și de rază Format:Mvar din varietate, și cu Format:Math volumul bilei de rază Format:Mvar don spațiul Format:Mvar-euclidian, atunci funcția Format:Math este crescătoare. (Ultima inegalitate poate fi generalizată la curbură arbitrară și este punctul cheie în demonstrația Format:Ill-wd.)
3. Format:Ill-wd Cheeger-Gromoll afirmă că dacă o varietate riemanniană completă cu Format:Math conține o linie, adică o geodezică Format:Mvar astfel încât Format:Math pentru orice Format:Math, atunci este izometrică cu un spațiu produs Format:Math. În consecință, o varietate completă de curbură Ricci pozitivă poate avea cel mult un capăt topologic. Teorema este adevărată și în cazul unor ipoteze suplimentare pentru Format:Ill-wd complete (de signatură metrică Format:Math ) cu tensor Ricci nenegativ (Format:Harvnb).

Aceste rezultate arată că curbura Ricci pozitivă are consecințe topologice puternice. Prin contrast, excluzând cazul suprafețelor, curbura Ricci negativă se știe acum că nu are implicații topologice; Lohkamp (1994) a arătat că orice varietate de dimensiuni mai mari decât 2 admite o metrică riemanniană de curbură Ricci negativă. (Pentru suprafețe, curbura Ricci negativă implică o curbură secțională negativă, dar acest lucru nu este destul de dramatic în toate dimensiunile mai mari.)

Comportamentul sub rescalare conformală

Dacă metrica Format:Mvar este schimbată prin înmulțirea ei cu un factor conformal Format:Math, se dă tensorul Ricci al metricii noi, Format:Math Format:Harvard citation conform

$\widetilde{\mathrm{Ric}}=\mathrm{Ric}+(2-n)[\mathrm{\nabla }df-df\otimes df]+[\mathrm{\Delta }f-(n-2)\Vert df{\Vert }^2]g,$$\widetilde{\mathrm{Ric}}=\mathrm{Ric}+(2-n)[\mathrm{\nabla }df-df\otimes df]+[\mathrm{\Delta }f-(n-2)\Vert df{\Vert }^2]g,$

unde Format:Math este laplacianul Hodge (de spectru pozitiv) adică opusul urmei obișnuite a hessienei.

În special, având în vedere un punct Format:Mvar dintr-o varietate riemanniană, este întotdeauna posibil să se găsească valori conformale pentru metrica Format:Mvar pentru care tensorul Ricci dispare în Format:Mvar. Aceasta este însă doar o afirmație punctuală; este de obicei imposibil ca curbura Ricci să dispară identic pe întreaga varietate printr-o rescalare conformală.

Pentru varietățile cu două dimensiuni, formula de mai sus arată că dacă Format:Mvar este o funcție armonică, atunci scalarea conformală Format:Math nu schimbă tensorul Ricci (deși îi schimbă totuși urma în raport cu metrica dacă f ≠ 0).

Tensor Ricci fără urmă

În Format:Ill-wd și în relativitatea generală, tensorul Ricci fără urmă al unei varietăți pseudo-rimaniene Format:Math este tensorul definit de

$Z=\mathrm{Ric}-\frac{S}{n}g,$$Z=\mathrm{Ric}-\frac{S}{n}g,$$Z=\mathrm{Ric}-\frac{S}{n}g,$

unde Format:Math este tensorul Ricci, Format:Mvar este curbura scalară, Format:Mvar este Format:Ill-wd și Format:Mvar este dimensiunea lui Format:Mvar. Numele acestui obiect reflectă faptul că urma sa dispare automat:

$Z_{ab}{g}^{ab}=0.$

Dacă Format:Math, tensorul Ricci fără urmă dispare identic dacă și numai dacă

$\mathrm{Ric}=\lambda g$$\mathrm{Ric}=\lambda g$$\mathrm{Ric}=\lambda g$

pentru un Format:Mvar constant.

În matematică, aceasta este condiția ca Format:Math să fie o Format:Ill-wd. În fizică, această ecuație afirmă că Format:Math este o soluție a ecuațiilor de câmp vid ale lui Einstein cu o constantă cosmologică.

Varietăți Kähler

Pe o Format:Ill-wd Format:Mvar, curbura Ricci determină Format:Ill-wd Format:Ill-wd Format:Harvard citation. Fibratul canonic de drepte este puterea exterioară a fibratului de Format:Ill-wd olomorfe:

$\kappa ={\wedge }^n{\mathrm{\Omega }}_X.$

Conexiunea Levi-Civita corespunzătoare metricii pe Format:Mvar dă naștere unei conexiuni pe Format:Mvar . Curbura acestei conexiuni este cea dintre cele două forme definite de

$\rho (X,Y)\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{Ric}(JX,Y)$

unde Format:Mvar este aplicația de Format:Ill-wd pe fibratul tangent determinat de structura varietății Kähler. Forma Ricci este o 2-formă Format:Ill-wd. Format:Ill-wd este, până la un factor real constant, prima Format:Ill-wd a fibratului canonic și, prin urmare, este un invariant topologic al lui Format:Mvar (pentru Format:Mvar compact) în sensul că depinde numai de topologia lui Format:Mvar și a Format:Ill-wd a structurii complexe.

Analog, forma Ricci determină tensorul Ricci prin

$\mathrm{Ric}(X,Y)=\rho (X,JY).$

În coordonatele olomorfe locale Format:Mvar, forma Ricci este dată de

$\rho =-i\partial \bar{\partial }\log \det \left(g_{\alpha \bar{\beta }}\right)$

unde Format:Math este Format:Ill-wd și

$g_{\alpha \bar{\beta }}=g(\frac{\partial }{\partial z^{\alpha }},\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\beta }}).$

Dacă tensorul Ricci dispare, atunci fibratul canonic este plat, astfel încât Format:Ill-wd poate fi redus local la un subgrup al grupului Format:Math. Totuși, varietățile Kähler au deja o Format:Ill-wd în Format:Math, astfel încât holonomia (restricționată) a unei varietăți Kähler de tip Ricci este conținută în Format:Math. În schimb, dacă holonomia (restrânsă) a unei varietăți rimmaniene Format:Math-dimensionale în Format:Math, atunci varietatea este o varietate Kähler Ricci-plată Format:Harvard citation.

Generalizarea la conexiunile afine

Tensorul Ricci poate fi generalizat și la Format:Ill-wd arbitrare, unde este un invariant care joacă un rol deosebit de important în studiul Format:Ill-wd (geometria asociată geodezicelor neparameterizate) Format:Harvard citation. Dacă cu Format:Math se notează o conexiune afină, atunci tensorul de curbură Format:Mvar este (1,3)-tensorul definit de

$R(X,Y)Z={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}Z$

pentru orice câmp de vectori Format:Math. Tensorul Ricci este definit ca fiind urma:

$\mathrm{ric}(X,Y)=\mathrm{tr}(Z\mapsto R(Z,X)Y).$

În această situație mai generală, tensorul Ricci este simetric dacă și numai dacă există local o Format:Ill-wd paralelă pentru conexiune.

Bibliografie

• Format:Citation Format:Citation .
• Format:Citation.
• Format:Citation Format:Citation .
• Format:Citation .
• Format:Citation .
• Format:Citation Format:Citation .
• Format:Citation .
• Format:Citation
• Format:Citation.
• Format:Citation.
• Format:Springer
• Format:Springer

Legături externe

• Z. Shen, C. Sormani "The Topology of Open Manifolds with Nonnegative Ricci Curvature" (a survey)
• G. Wei, "Manifolds with A Lower Ricci Curvature Bound" (a survey)