Curbură constantă

În matematică curbura constantă este un concept din geometria diferențială. Aici, curbura se referă la curbura secțională a unui spațiu (mai exact, a unei varietăți) și determină geometria locală a acesteia printr-un singur număr. Se spune că curbura secțională este constantă dacă are aceeași valoare în fiecare punct și pentru fiecare plan tangent bidimensional în acel punct. De exemplu, o sferă este o suprafață cu curbură pozitivă constantă.

Clasificare

O Format:Ill-wd cu curbură constantă poate fi clasificată în următoarele trei cazuri:

• geometrie eliptică – cu curbură secțională constantă pozitivă, exemplul tipic fiind sfera,
• geometrie euclidiană – cu curbură secțională constantă nulă, exemplul tipic fiind planul,
• geometrie hiperbolică – cu curbură secțională constantă negativă, exemplul tipic fiind pseudosfera.

Proprietăți

• Orice spațiu de curbură constantă este Format:Ill-wd, adică tensorul de curbură este paralel $\mathrm{\nabla }\mathrm{R}=0$.
• Orice spațiu de curbură constantă este local maximum de simetric, adică are un număr de $\frac{1}{2}n(n+1)$ Format:Ill-wd, unde $n$ este dimensiunea spațiului.
• Invers, există o afirmație similară, dar mai puternică: orice spațiu maximum de simetric, adică un spațiu care are $\frac{1}{2}n(n+1)$ izometrii (globale), are curbură constantă.
• (Teorema Killing–Hopf) acoperirea universală a unei varietăți cu curbură secțională constantă este unul dintre modelele de spațiu:
  • sferă (curbură secțională pozitivă),
  • Format:Ill-wd (curbura secțională zero),
  • varietate hiperbolică (curbură secțională negativă),
• Un spațiu de curbură constantă care este geodezic complet se numește formă spațială, iar studiul formelor spațiale este strâns legat de cristalografia generalizată.
• Două forme spațiale sunt izomorfe dacă și numai dacă au aceeași dimensiune, metricile lor au aceeași semnătură, iar curburile lor secționale sunt egale.

Bibliografie

• Format:En icon Moritz Epple (2003) From Quaternions to Cosmology: Spaces of Constant Curvature ca. 1873 — 1925, invited address to International Congress of Mathematicians
• Format:En icon Format:Cite journal