Bilă (matematică)

În spațiul euclidian, o bilă este volumul delimitat de o sferă

În matematică, o bilă este spațiul delimitat de o sferă. Poate fi o bilă închisă (inclusiv punctele de pe frontiera care constituie sfera) sau o bilă deschisă (excluzându-le).

Aceste concepte sunt definite nu numai în spațiul euclidian tridimensional, ci și pentru dimensiuni inferioare și superioare și pentru spații metrice în general. O bilă sau o hiperbilă în Format:Mvar dimensiuni se numește Format:Math-bilă și este mărginită de o [[n-sferă|(Format:Math)-sferă]]. Astfel, de exemplu, o bilă în planul euclidian este același lucru ca un disc, aria delimitată de un cerc. În spațiul euclidian tridimensional, o bilă este considerată ca volumul delimitat de o sferă bidimensională. Într-un spațiu unidimensional, o bilă este un segment de dreaptă.

În alte contexte, cum ar fi în geometria euclidiană și utilizarea informală, termenul sferă este uneori folosit cu sensul de bilă.

În practica generală, volumul unei bile este calculat ca:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3\approx 0.523\cdot d^3$

unde Format:Mvar este raza și Format:Mvar este diametrul bilei.

În spațiul euclidian

Într-un Format:Mvar-spațiu euclidian, o Format:Mvar-bilă (deschisă) de rază Format:Mvar cu centrul în Format:Mvar este mulțimea tuturor punctelor cu o distanță mai mică de Format:Mvar față de Format:Mvar. O Format:Mvar-bilă închisă de rază Format:Mvar este mulțimea tuturor punctelor cu o distanță mai mică sau egală cu Format:Mvar față de Format:Mvar.

În Format:Mvar-spațiul euclidian, orice bilă este mărginită de o hipersferă. Bila este un interval mărginit când Format:Math, un disc mărginit de un cerc când Format:Math, și este spațiul mărginit de o sferă când Format:Math.

Volum

Volumul Format:Mvar-dimensional al unei bile euclidene de rază Format:Mvar în spațiul euclidian Format:Mvar-dimensional este:

$V_n(R)=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{R}^n,$

unde Format:Math este funcția gamma a lui Leonhard Euler (care poate fi imaginată ca o extensie a funcției factorial la argumente fracționare). Folosind formule explicite pentru valorile particulare ale funcției gamma în numerele întregi și semiîntregi dă formula volumului unei bile euclidiene care nu are nevoie de o evaluare a funcției gamma. Se obține:

$\begin{array}{cc}{V}_{2k}(R)& =\frac{{\pi }^k}{k!}{R}^{2k},\\ V_{2k+1}(R)& =\frac{2^{k+1}{\pi }^k}{(2k+1)!!}{R}^{2k+1}=\frac{2(k!)(4\pi {)}^k}{(2k+1)!}{R}^{2k+1}.\end{array}$

În formula pentru volume de dimensiuni impare, factorialul dublu Format:Math este definit pentru numere întregi impare Format:Math ca Format:Math .

În spațiile metrice generale

Fie Format:Math un spațiu metric, anume o mulțime Format:Mvar cu o metrică (funcție distanță) Format:Mvar. Bila deschisă de rază Format:Math centrată într-un punct Format:Mvar din Format:Mvar, notată de regulă prin Format:Math sau Format:Math, este definită prin

$B_r(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},$

Bila închisă, ce poate fi notată cu Format:Math sau Format:Math, este definită prin

$B_r[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\le r\}.$

În particular, o bilă (deschisă sau închisă) include întotdeauna punctul Format:Mvar însuși, întrucât definiția impune ca Format:Math.

Închiderea bilei deschise Format:Math se notează de obicei cu Format:Math . Desi întotdeauna Format:Math, nu întotdeauna și Format:Math De exemplu, într-un spațiu metric Format:Mvar cu metrică discretă, avem Format:Math și Format:Math, pentru orice Format:Math

O bilă unitate (deschisă sau închisă) este o bilă cu raza 1.

O submulțime a spațiului este mărginită dacă este conținută într-o bilă. O mulțime este Format:Ill-wd dacă, dată fiind orice rază pozitivă, este acoperită de un număr finit de bile de raza respectivă.

Bilele deschise dintr-un spațiu metric pot servi ca bază, oferind acestui spațiu o topologie, ale cărei mulțimi deschise sunt toate reuniunile posibile de bile deschise. Această topologie pe un spațiu metric se numește topologie indusă de metrica Format:Mvar.

În spațiile vectoriale normate

Orice spațiu vectorial Format:Mvar cu norma $\Vert \cdot \Vert$ este de asemenea un spațiu metric cu metrica $d(x,y)=\Vert x-y\Vert .$În astfel de spații, o bilă arbitrară Format:Math de puncte Format:Math în jurul unui punct Format:Math cu o distanță mai mică de Format:Math pot fi privite ca o copie scalată cu Format:Math și translatată cu Format:Matha unei bile unitate Format:Math. Astfel de bile „centrate” cu Format:Math se notează cu Format:Math.

Bilele euclidiene discutate anterior sunt un exemplu de bile într-un spațiu vectorial normat.

Format:Mvar-norma

Într-un spațiu cartezian Format:Math cu [[Funcții p-sumabile și funcții local p-sumabile|Format:Mvar -norma]] Format:Mvar, adică

${\Vert x\Vert }_p={(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p)}^{1/p},$

O bilă deschisă de rază Format:Math în jurul originii este dată de mulțimea

$B(r)=\{x\in {ℝ}^n:{\Vert x\Vert }_p={(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p)}^{1/p}<r\}.$

Pentru Format:Math, într-un plan 2-dimensional ${ℝ}^2$, „bilele” conform Format:Math-normei (numită adesea norma taximetristului sau norma Manhattan metric) sunt mărginite de pătrate cu diagonalele paralele cu axele de coordonate; cele conform Format:Math-normei, denumită și metrica Cebîșev, au pătrate cu laturile paralele cu axele de coordonate. Format:Math-norma, denumită și metrică euclidiană, generează binecunoscutele discuri mărginite de cercuri, iar pentru orice alte valori ale lui Format:Mvar, bilele corespunzătoare sunt arii mărginite de Format:Ill-wd (hipoelipse sau hiperelipse).

Pnetru Format:Math, Format:Math-bilele sunt incluse în octaedre cu diagonalele aliniate cu axele, Format:Math-bilele sunt incluse în cuburi cu muchiile aliniate cu axele, iar frontierele unor bile pentru Format:Mvar cu Format:Math sunt Format:Ill-wd. Evident, Format:Math generează interiorul unei sfere obișnuite.

Normă generală convexă

Mai general, dată fiind orice submulțime central simetrică, mărginită, deschisă și Format:Ill-wd Format:Mvar al lui Format:Math, se poate defini o normă pe Format:Math unde bilele sunt toate cópii translatate și scalate uniform ale lui Format:Mvar. Această teoremă nu este valabilă dacă submulțimea „deschisă” este înlocuită cu submulțimea „închisă”, deoarece punctul de origine se califică, dar nu definește o normă pe Format:Math.

În spațiile topologice

Se poate vorbi despre bile în orice spațiu topologic Format:Mvar, nu neapărat indus de o metrică. O bilă topologică (deschisă sau închisă) Format:Mvar-dimensională a lui Format:Mvar este orice submulțime a lui Format:Mvar care este Format:Ill-wd cu o Format:Mvar-bilă euclidiană (deschisă sau închisă). Format:Mvar-bilele topologice sunt importante în Format:Ill-wd, drept blocuri de construcție ale Format:Ill-wd .

Orice Format:Mvar-bilă topologică deschisă este homeomorfă cu spațiul cartezian Format:Math și cu [[Hipercub|Format:Mvar-cubul unitate]] (hipercubul) Format:Math. Orice Format:Mvar-bilă topologică închisă este homeomorfă cu Format:Mvar-cubul închis Format:Math.

O Format:Mvar-bilă este homeomorfă cu o Format:Mvar-bilă dacă și numai dacă Format:Math. Homeomorfismele între o Format:Mvar-bilă deschisă Format:Mvar și Format:Math pot fi clasificate în două categorii, care pot fi identificate cu cele două Format:Ill-wd posibile ale lui Format:Mvar.

O Format:Mvar-bilă topologică nu este obligatoriu Format:Ill-wd; dacă este, atunci nu este neapărat difeomorfă cu o Format:Mvar-bilă euclidiană.

Bibliografie

• Format:Citat revistă
• Format:Citat revistă
• Format:Citat revistă