Curbură scalară

În Format:Ill-wd, curbura scalară (sau scalarul Ricci) este cea mai simplă curbură invariantă a unei Format:Ill-wd. Fiecărui punct al unei varietăți riemanniene, el atribuie un singur număr real determinat de geometria intrinsecă a varietății în apropierea acelui punct. Anume, curbura scalară reprezintă cantitatea cu care volumul unei mici bile geodezice dintr-o varietate riemanniană se abate de la cea a bilei standard din spațiul euclidian. În două dimensiuni, curbura scalară este dublul Format:Ill-wd și caracterizează complet curbura unei suprafețe. Totuși, în mai mult de două dimensiuni, Format:Ill-wd implică mai mult decât o cantitate independentă funcțional.

În relativitatea generală, curbura scalară este Format:Ill-wd pentru Format:Ill-wd . Format:Ill-wd pentru acest lagrangian sub variații ale metricii constituie ecuațiile lui Einstein în vid, iar metricile staționare sunt cunoscute ca Format:Ill-wd. Curbura scalară a unei n-varietăți este definită ca urmă a tensorului Ricci și poate fi definită ca Format:Math ori media curburilor secționale într-un punct.

La prima vedere, curbura scalară în dimensiune cel puțin 3 pare a fi un invariant slabă, cu puțină influență asupra geometriei globale a unei varietăți, dar, de fapt, unele teorii profunde dovedesc puterea curburii scalare. Un astfel de rezultat este Format:Ill-wd a lui Format:Ill-wd, Format:Ill-wd și Format:Ill-wd. Rezultatele similare dau o înțelegere aproape completă a varietăților care au o metrică riemanniană cu curbură scalară pozitivă.

Definiție

Curbura scalară S (adesea notată și cu, R sau Sc ) este definită ca urmă a tensorului de curbură Ricci în raport cu Format:Ill-wd:

S = {tr}_{g} Ric .

Urma depinde de măsura în care tensorul Ricci este un tensor (0,2)-valent; mai întâi trebuie Format:Ill-wd pentru a obține un tensor (1,1) -valent căruia să i se ia urma. În termeni de coordonate locale se poate scrie

S = g^{i j} R_{i j} = R_{j}^{j}

unde Format:Math sunt componentele tensorului Ricci în baza coordonatelor:

Ric = R_{i j} d x^{i} \otimes d x^{j} .

Dați fiind un sistem de coordonate și un tensor metric, curbură scalară poate fi exprimată după cum urmează:

S = g^{a b} ({Γ^{c}}_{a b, c} - {Γ^{c}}_{a c, b} + {Γ^{d}}_{a b} {Γ^{c}}_{c d} - {Γ^{d}}_{a c} {Γ^{c}}_{b d}) = 2 g^{a b} ({Γ^{c}}_{a [b, c]} + {Γ^{d}}_{a [b} {Γ^{c}}_{c] d})

Unde ${Γ^{a}}_{b c}$ sunt Format:Ill-wd ale metricii ${Γ^{l}}_{j k, i}$ este derivata parțială a lui ${Γ^{l}}_{j k}$ în direcția coordonatei Format:Math.

Spre deosebire de tensorul de curbură Riemann sau de tensorul Ricci, ambele putând fi definite pentru orice Format:Ill-wd, curbura scalară necesită o metrică. Metrica poate fi Format:Ill-wd în loc de riemanniană. Într-adevăr, o astfel de generalizare este vitală pentru teoria relativității. Mai general, tensorul Ricci poate fi definit în clasa mai largă a geometriilor metrice (prin intermediul interpretării geometrice directe, de mai jos) care include Format:Ill-wd.

Interpretare geometrică directă

Când curbura scalară este pozitivă într-un punct, volumul unei mici bile în jurul punctului are un volum mai mic decât o bilă de aceeași rază în spațiul euclidian. Pe de altă parte, când curbura scalară este negativă într-un punct, volumul unei mici bile este mai mare decât în spațiul euclidian.

Acest lucru poate fi făcut mai cantitativ, pentru a caracteriza valoarea precisă a curburii scalare S într-un punct p al unei n-varietăți riemanniene Format:Math Anume, raportul volumului n-dimensional al unei bile de rază ε în varietate cu cel al unei bile corespunzătoare în spațiul euclidian este dat, pentru un Format:Math mic, de

\frac{Vol (B_{ε} (p) \subset M)}{Vol (B_{ε} (0) \subset ℝ^{n})} = 1 - \frac{S}{6 (n + 2)} ε^{2} + O (ε^{4}) .

Astfel, derivata a doua a acestui raport, evaluată la raza Format:Math, este exact minus curbura scalară împărțită la Format:Math.

Limitele acestor bile sunt sfere Format:Math-dimensionale de rază Format:Math; măsurile hypersuprafețelor lor („ariile”) satisfac următoarea ecuație:

\frac{Aria (\partial B_{ε} (p) \subset M)}{Aria (\partial B_{ε} (0) \subset ℝ^{n})} = 1 - \frac{S}{6 n} ε^{2} + O (ε^{4}) .

Cazuri speciale

Suprafețe

În două dimensiuni, curbura scalară este exact de două ori mai mare decât curbura gaussiană. Pentru o suprafață încorporată în spațiul Euclidian $ℝ^{3}$ , aceasta înseamnă că

S = \frac{2}{ρ_{1} ρ_{2}}

Unde Format:Math sunt Format:Ill-wd ale suprafeței. De exemplu, curbura scalară a 2-sferei de rază Format:Math este egală cu $\frac{2}{r^{2}}$ .

Tensorul 2-dimensional de curbură riemann are doar o componentă independentă și poate fi exprimat în termeni de curbură scalară și a formei metrice de suprafață. Anume, în orice sistem de coordonate, avem

2 R_{1212} = S \det (g_{i j}) = S [g_{11} g_{22} - (g_{12})^{2}] .

Forme spațiale

O Format:Ill-wd este, prin definiție, o varietate riemanniană cu curbură secțională constantă. Formele de spațiu sunt izometrice la nivel local cu unul dintre următoarele tipuri:

Spațiul euclidian: Tensorul Riemann al unui spațiu n-dimensional euclidian dispare identic, astfel încât la fel face și curbura scalară.
n-sfere: Curbura secțională a unei n-sfere de rază Format:Math este $k = \frac{1}{r^{2}}$ ^. Prin urmare, curbura scalară este $S = \frac{n (n - 1)}{r^{2}}$ .
Spațiul hiperbolic : Prin Format:Ill-wd, un spațiu hiperbolic n-dimensional poate fi identificat cu submulțimea spațiului Minkowski Format:Math-dimensional

x_{0}^{2} - x_{1}^{2} - \dots - x_{n}^{2} = r^{2}, x_{0} > 0 .

Parametrul Format:Math este un invariant geometric al spațiului hiperbolic, iar curbura secțională este

K = \frac{1}{r^{2}}

. Curbura scalară este astfel

S = - \frac{n (n - 1)}{r^{2}}

.

Produse

Curbura scalară a unui Format:Ill-wd M × N al varietăților riemanniene este suma curburilor scalare ale lui M și N. De exemplu, pentru orice Format:Ill-wd Format:Ill-wd M, M × S ² are o metrică a curburii scalare pozitive, pur și simplu luând 2-sfera ca fiind mică în comparație cu M (astfel încât curbura sa să fie mare). Acest exemplu ar putea sugera că curbura scalară are o slabă relație cu geometria globală a unei varietăți. De fapt, ea chiar are o semnificație globală, după cum este discutat mai jos .

Notație tradițională

Dintre cei care folosesc notația cu indici pentru tensori, este comună utilizarea literei R pentru a reprezenta trei lucruri diferite:

tensorul de curbură Riemann: $R_{i j k}^{l}$ sau $R_{a b c d}$
tensorul Ricci: Format:Math
curbura scalară: Format:Math

Aceste trei sunt deosebite între ele prin numărul de indici: tensorul Riemann are patru indici, tensorul Ricci are doi, iar scalarul Ricci nu are indici. Cei care nu utilizează o notare cu indici, de obicei, rezervă R pentru tensorul de curbură Riemann. Alternativ, într-o notație fără coordonate se poate folosi Riem pentru tensorul Riemann, Ric pentru tensorul Ricci și R pentru curbura scalară.

Problema Yamabe

Problema Yamabe a fost rezolvată de Format:Ill-wd, Format:Ill-wd și Schoen. Anume, toate metricile riemanniene pe o varietate închisă poate fi înmulțite cu o funcție pozitivă diferențiabilă pentru a obține o metrică cu curbură scalară constantă. Cu alte cuvinte, toate metricile sunt Format:Ill-wd cu una care are curbură scalară constantă.

Curbura scalară pozitivă

Pentru o 2-varietate riemanniană închisă M, curbura scalară are o relație clară cu topologia lui M, exprimată prin teorema Gauss–Bonnet: curbura scalară totală M este egală cu Format:Math ori caracteristica Euler a lui M. De exemplu, singurele suprafețe închise cu metrici de curbură scalară pozitivă sunt cele cu caracteristică Euler pozitivă: sfera S² și Format:Ill-wd . De asemenea, cele două suprafețe nu au metrici cu curbură scalară ≤ 0.

Semnul curburii scalare are o relație mai slabă cu topologia în dimensiuni mai mari. Dată fiind o varietate diferențiabilă închisă M cu dimensiunea cel puțin 3, Format:Ill-wd și Warner au rezolvat Format:Ill-wd, descriind ce funcții diferențiabile pe M apar drept curburi scalare ale unei anumite metrici riemanniene pe M. Anume, M trebuie să fie exact unul din următoarele trei tipuri: ^[1]

Orice funcție pe M este curbura scalară a unei anumite metrici pe M.
O funcție pe M este curbura scalară a unei anumite metrici pe M dacă și numai dacă este identică zero sau negativă undeva.
O funcție pe M este curbura scalară a unei anumite metrici pe M dacă și numai dacă este negativă undeva.

Astfel, orice varietate de dimensiune cel puțin 3 are o metrică cu curbură scalară negativă, de fapt cu curbură scalară constant negativă. Rezultatul lui Kazdan-Warner pune accentul pe întrebarea care varietăți au o metrică cu curbură scalară pozitivă, care este echivalentă cu proprietatea (1). Cazul la limită (2) poate fi descris ca fiind clasa de varietăți cu o metrică puternic scalar-plată, adică o metrică cu curbură scalară nulă astfel încât M să nu aibă nicio metrică cu curbură scalară pozitivă.

Se cunosc foarte multe despre varietățile netede închise care au valori cu curbură scalară pozitivă. În special, conform lui Gromov și Format:Ill-wd, orice varietate simplu conexă de dimensiune de cel puțin 5, care nu este Format:Ill-wd are o valoare cu o curbură scalară pozitivă.^[2] Prin contrast, Format:Ill-wd a arătat că o varietate spin cu curbura scalară pozitivă trebuie să aibă un Format:Ill-wd egal cu zero. Format:Ill-wd a arătat că o versiune mai rafinată a genului Â, α-invariantul, dispare și pentru varietăți spin cu curbură scalară pozitivă.^[3] Acest lucru este netrivial doar în unele dimensiuni, deoarece α-invariantul al unei n-varietăți ia valori în grupul Format:Ill-wd, enumerate aici:

Dimpotrivă, Stolz a arătat că orice varietate spin de dimensiune cel puțin 5 cu α-invarianți zero are o metrică cu curbura scalară pozitivă.^[4]

Argumentul lui Lichnerowicz folosind Format:Ill-wd a fost extins pentru a oferi numeroase restricții asupra varietăților care nu sunt simplu conexe și au curbura scalară pozitivă, prin Format:Ill-wd . De exemplu, Gromov și Lawson au arătat că o varietate închisă care admite o metrică cu curbură secțională ≤ 0, cum ar fi un tor, nu are nicio metrică cu curbură scalară pozitivă.^[5] În general, partea de injectivitate a Format:Ill-wd pentru un grup G, cunoscută în multe cazuri, ar implica faptul că o Format:Ill-wd închisă cu Format:Ill-wd G nu are nici o metrică cu curbura scalară pozitivă.^[6]

Sunt rezultate speciale în dimensiunile 3 și 4. După munca lui Schoen, Yau, Gromov și Lawson, demonstrarea de către Perelman a Format:Ill-wd a dus la un răspuns complet în dimensiunea 3: o 3-varietate Format:Ill-wd închisă are o metrică cu curbură scalară pozitivă dacă și numai dacă este Format:Ill-wd de Format:Ill-wd și copii ale lui S² × S¹.^[7] În dimensiunea 4, curbura scalară pozitivă are implicații mai puternice decât în dimensiuni mai mari (chiar și pentru varietățile simplu conexe), folosind Format:Ill-wd.^[8]

În cele din urmă, Akito Futaki a arătat că valori puternic scalar-plate (așa cum sunt definite mai sus) sunt extrem de speciale. Pentru o varietate M de dimensiune de cel puțin 5, care este puternic scalar-plată, M trebuie să fie un produs al varietăților Riemannian cu grupul Format:Ill-wd SU(n) (Format:Ill-wd), Sp(n) (Format:Ill-wd) sau Spin(7).^[9] În special, aceste valori sunt Ricci-plate, nu doar scalar-plate. În schimb, există exemple de varietăți cu aceste grupuri de holonomie, cum ar fi Format:Ill-wd, care sunt spin și au α-invariant nenul, deci sunt puternic scalar-plate.

Note

↑ Besse (1987), Teorema 4.35.
↑ Lawson & Michelsohn (1989), Teorema IV.4.4.
↑ Lawson & Michelsohn (1989), Teorema II.8.12.
↑ Stolz (2002), Teorema 2.4.
↑ Lawson & Michelsohn (1989), corolarul IV.5.6.
↑ Stolz (2002), Teorema 3.10.
↑ Marques (2012), introducere.
↑ LeBrun (1999), Teorema 1.
↑ Petersen (2016), corolarul C.4.4.

Bibliografie

[1] Besse (1987), Teorema 4.35.

[2] Lawson & Michelsohn (1989), Teorema IV.4.4.

[3] Lawson & Michelsohn (1989), Teorema II.8.12.

[4] Stolz (2002), Teorema 2.4.

[5] Lawson & Michelsohn (1989), corolarul IV.5.6.

[6] Stolz (2002), Teorema 3.10.

[7] Marques (2012), introducere.

[8] LeBrun (1999), Teorema 1.

[9] Petersen (2016), corolarul C.4.4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Curbură scalară

Cuprins

Definiție

Interpretare geometrică directă

Cazuri speciale

Suprafețe

Forme spațiale

Produse

Notație tradițională

Problema Yamabe

Curbura scalară pozitivă

Note

Bibliografie

Meniu de navigare

Curbură scalară

Definiție

Interpretare geometrică directă

Cazuri speciale

Suprafețe

Forme spațiale

Produse

Notație tradițională

Problema Yamabe

Curbura scalară pozitivă

Note

Bibliografie

Meniu de navigare

Căutare