Funcție armonică

Funcție armonică este un termen folosit în matematică (mai ales în teoria probabilităților), fizică și se referă la acele funcții dublu derivabile $f:U\to ℝ$, unde $U$ este o mulțime deschisă a lui ${ℝ}^n$, care satisface ecuația lui Laplace:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x^2}_1}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x_2}^2}+\cdots +\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x_n}^2}=0$ pe întreg intervalul U. Într-o notație mai compactă se mai poate scrie:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0$ sau $\mathrm{\Delta }f=0$ .

O funcție armonică este deci, prin definiție, o soluție a ecuației lui Laplace.

Exemple

Exemple de funcții armonice cu două variabile:

• partea reală și partea imaginară a oricărei funcții olomorfe
• funcția

$f(x_1,x_2)=ln({x_1}^2+{x_2}^2)$

definită pe ${ℝ}^2\mathrm{\setminus }\{0\}$, de exemplu potențialul electric produs de un fir încărcat sau potențialul gravitațional datorat unei mase cilindrice.

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957

Vezi și

• serie Fourier
• ecuația lui Poisson

Legături externe

• Format:En icon Funcții armonice la MathWorld.
• Format:En icon Teoria funcțiilor armonice la Axler.Net.