Ordin (teoria grupurilor)

Format:ReferințeÎn teoria grupurilor, conceptul de ordin este utilizat cu următoarele semnificații:

• ordinul unui grup $G$, notat $ord(G)$ sau $|G|$, este numărul elementelor grupului. Dacă G are o infinitate de elemente $ord(G)=\mathrm{\infty }.$
• ordinul unui element $a$ dintr-un grup $G$ : definit în cazul în care există un m natural nenul cu proprietatea $a^m=e,$ unde e este elementul neutru al grupului.

Ordinul unui element

Definiție. Fie grupul $(G,*)$ și e elementul neutru. Elementul $a\in G.$ este de ordin finit dacă:

$\mathrm{\exists }m\in {\mathbb{N}}^{*},a^m=e.$

În acest caz,

$\min \{m\in {\mathbb{N}}^{*}|a^m=e\}=ord(a)$

se numește ordinul elementului $a$.

Elementul $a\in G$ este de ordin infinit dacă a nu este de ordin finit.

Teoremă. Fie grupul $(G,*)$ și $a\in G.$

• Dacă $ord(a)=n\in {\mathbb{N}}^{*},$ atunci elementele $e,a,a^2,\cdots ,a^{n-1}$ sunt distincte două câte două și $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z},a^k=a^{k(modn)}.$
• $ord(a)=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }{k}_1,k_2\in \mathbb{Z},a^{k_1}\ne a^{k_2}.$

Proprietăți

1. Fie grupul $(G,*).$ Dacă  $a\in G$  și  $ord(a)=n\in {\mathbb{N}}^{*},$ atunci $ord⟨a⟩=n$  și

$⟨a⟩=\{e,a,a^2,\cdots ,a^{n-1}\},$

unde $⟨a⟩=\{a^k|k\in \mathbb{Z}\}$ este subgrupul generat de elementul a.

2. Grupul finit  $G$ de ordinul $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ este ciclic  $\iff G$ are un element de ordinul n.

3. Fie grupul $(G,*).$  Dacă $x\in G,ord(x)=n\in {\mathbb{N}}^{*}$  și   $k\in \mathbb{Z},x^k=e,$  atunci $n|k.$

Demonstrație. Conform teoremei împărțirii cu rest, există și sunt unice numerele întregi q, r cu proprietățile: $0\le r<ord(x)$   și   $k=ord(x)*q+r.$

Atunci $x^k=x^{nq+r}=(x^n{)}^q*x^r$  și cum   $x^n=e,$  rezultă $r=0,$  deci  $k=n\cdot q,$  adică   $n|k.$

4. Orice element al unui grup finit are ordinul finit.

5. Orice două grupuri ciclice de același ordin sunt izomorfe. Dacă G este un grup ciclic de ordinul n, atunci $(G,*)\approx (\mathbb{Z},+).$

6. Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

7. Dacă $x,y\in G$  atunci:

a) $ord(x)=ord(x^{-1})$

b) $ord(x*y)=ord(y*x).$

Demonstrație.

a) I. Dacă $ord(x)=n\in {\mathbb{N}}^{*}$  atunci  $x^n=e$  și  ${\left(x^{-1}\right)}^n={\left(x^n\right)}^{-1}=e^{-1}=e.$

Fie  $k=ord(x^{-1}).$  Din proprietatea 3 rezultă   $k|n.$

Cum   $e={\left(x^{-1}\right)}^k={\left(x^k\right)}^{-1},$  rezultă că   $x^k=e$  și cum   $ord(x)=e,$  din proprietatea 3 rezultă că   $n|k.$  Așadar   $n=k.$

II. Dacă  $ord(x)=\mathrm{\infty }$  se va presupune că   $ord(x^{-1})=k\in {\mathbb{N}}^{*}.$   Atunci din cazul anterior rezultă că   $ord(x)=ord(x^{-1}{)}^{-1}=k,$  fals. Așadar   $ord(x^{-1})=\mathrm{\infty }.$

b) I. Dacă  $ord(x*y)=n\in {\mathbb{N}}^{*}$  atunci  $(x*y{)}^k=e\iff x*(y*x{)}^{k-1}*y=e\iff (y*x{)}^k*y=y\iff (y*x{)}^k=e\iff =e,$  așadar  $ord(y*x)=k^{\prime }\in {\mathbb{N}}^{*}$  și  $k|k.$ 

Dar  $(y*x{)}^{k^{\prime }}=e\iff y*(x*y{)}^{k^{\prime }-1}*x=e\iff (x*y{)}^{k^{\prime }}=e$  și cum  $ord(x*y)=k$  rezultă și  $k|k^{\prime }$  și deci  $k=k^{\prime }.$ 

II. Dacă  $ord(x*y)=\mathrm{\infty },$  presupunând că  $ord(y*x)=k\in {\mathbb{N}}^{*}$  rezultă ca mai înainte că  $ord(x*y)=k,$  fals. Așadar  $ord(y*x)=\mathrm{\infty }.$ 

Se observă că afirmația anterioară este adevărată și în cazul izomorfismelor de grupuri, ceea ce întărește imaginea intuitivă că elementele asociate printr-un izomorfism au aceleași proprietăți.

9. Fie grupul  $(G,*)$  și  $a,b\in G$  cu  $ord(a)=m\in {\mathbb{N}}^{*},$  astfel încât  $a*b=b*a.$  Notăm cu  $d=(m,n),p=[m,n].$  Atunci:

a)  $ord(a*b)|p$

b)  $\frac{p}{d}|ord(a*b).$

Demonstrație. Se știe că dacă  $a*b=b*a,$  atunci  $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z},(a*b{)}^k=a^k*b^k$ 

a) Se ține cont că  $m=d*m_1$  și  $n=d*n_1,$  cu  $m_1,n_1\in \mathbb{N},(m_1,n_1)=1,$  iar  $p=d*m_1*n_1.$ Mai departe:

$(a*b{)}^p=(a*b{)}^{d\cdot m_1\cdot n_1}=a^{m\cdot n_1}*b^{n\cdot m_1}={\left(a^m\right)}^{n_1}\cdot {\left(b^n\right)}^{m_1}=e$

de unde, conform consecinței 3,  $k|p,$  unde  $ord(a*b)=k.$  Acum se demonstrează că  $m_1*n_1|k.$ 

$(a*b{)}^k=e\Rightarrow a^k=b^{-k}\Rightarrow a^{k\cdot n}=b^{-k\cdot n}=e$  și, conform consecinței 3,  $m|k\cdot n\iff d\cdot m_1|k\cdot d\cdot n_1\Rightarrow$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{m}_1|k\cdot n_1\\ (m_1,n_1)=1\end{array}\Rightarrow m_1|k.$

Analog rezultă că  $n_1|k$  și cum  $(m_1,n_1)=1$  se obține  $m_1\cdot n_1|k.$ 

Observații

a)  $ord(a*b)|m\cdot n$ 

b) Dacă  $a,b\in G,a*b=b*a,ord(a)=m,ord(b)=n$  și  $(m,n)=1,$  atunci  $ord(a*b)=[m,n]=m\cdot n.$ 

c) Există situații când  $ord(a,b)=\frac{[m,n]}{(m,n)}=m_1\cdot n_1.$ 

De exemplu, în grupul  $({\mathbb{Z}}_{12},+),ord(\hat{6})=2,ord(\hat{2})=6$  și  $ord(\hat{2}+\hat{6})=3.$ 

10. Fie grupul  $(G,*)$  și  $x\in G,ord(x)=n\in {\mathbb{N}}^{*}.$  Atunci:

a)  $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z},ord(x^k)|n$ 

b)  $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z},ord(x^k)=\frac{n}{(k,n)}.$ 

11. Fie  $(G,*)$  un grup ciclic de ordinul  $n,G=⟨a⟩$  și  $k\in \mathbb{Z}.$ 

Atunci:  $a^k$  este generator al grupului  $\iff (k,n)=1.$ 

Vezi și

• Caracteristică a unui inel sau grup
• Teorema lui Lagrange din teoria grupurilor