Punct de întoarcere

În matematică, un punct de întoarcere,^[1]^[2] este un punct de pe o curbă unde un punct în mișcare trebuie să-și inverseze direcția. Un exemplu tipic este dat în figura alăturată. Un punct de întoarcere este astfel un tip de punct singular al unei curbe.

Pentru o curbă plană definită analitic printr-o ecuație parametrică

\begin{matrix} x & = f (t) \\ y & = g (t), \end{matrix}

un punct de întoarcere este un punct în care ambele derivate ale lui Format:Mvar și Format:Mvar sunt zero, iar derivata direcțională, în direcția tangentei, își schimbă semnul (direcția tangentei este direcția pantei, $\lim \frac{g^{'} (t)}{f^{'} (t)}$ ). Punctele de întoarcere sunt singularități locale în sensul că implică o singură valoare a parametrului Format:Mvar, spre deosebire de punctele de autointersectare care implică mai multe valori. În unele contexte, condiția asupra derivatei direcționale poate fi omisă, deși în acest caz singularitatea poate arăta ca un punct regulat.

Pentru o curbă definită printr-o ecuație implicită

F (x, y) = 0,

care este Format:Ill-wd, punctele de întoarcere sunt punctele în care termenii de cel mai mic grad ai dezvoltării în serie Taylor a lui Format:Mvar sunt o putere a unui polinom liniar. Totuși, nu toate punctele singulare care au această proprietate sunt puncte de întoarcere. Teoria Format:Ill-wd implică faptul că dacă Format:Mvar este o funcție analitică (de exemplu un polinom), o schimbare liniară a coordonatelor permite curba să fie parametrizată într-o vecinătate a punctului de întoarcere ca

\begin{matrix} x & = a t^{m} \\ y & = S (t), \end{matrix}

unde Format:Mvar este un număr real, Format:Mvar este un întreg par pozitiv, iar Format:Mvar(t) este o serie de puteri de ordinul Format:Mvar mai mare decât Format:Mvar. Numărul Format:Mvar este uneori numit ordinul sau multiplicitatea punctului de întoarcere și este egal cu gradul părții nenule de gradul cel mai mic a lui Format:Mvar. În unele contexte definiția unui punct de întoarcere este limitată la cazul punctelor de întoarcere de ordinul doi, adică cazul în care Format:Math.

Definițiile pentru curbele plane și curbele definite implicit au fost generalizate de René Thom și Vladimir Arnold la curbele definite prin funcții derivabile: o curbă are un punct de întoarcere într-un punct dacă există un difeomorfism al unei vecinătăți a punctului din spațiul ambiant, care aplică curba pe unul dintre punctele de întoarcere definite mai sus.

Clasificarea în geometria diferențială

Fie o funcție reală netedă de două variabile, Format:Mvar (Format:Mvar) unde Format:Mvar și Format:Mvar sunt numere reale. Deci Format:Mvar este o funcție care aplică un plan pe o linie. Spațiul tuturor acestor funcții netede acționează asupra grupului de difeomorfisme ale planului și difeomorfismele dreptei, adică modificări difeomorfe ale coordonatelor atât la sursă cât și la țintă. Această acțiune împarte întregul spațiu funcțional în Format:Ill-wd, adică orbite ale unei Format:Ill-wd.

O astfel de familie de clase de echivalență este notată $A_{k}^{\pm},$ unde Format:Mvar este un număr întreg nenegativ. Se spune că o funcție Format:Mvar este de tip $A_{k}^{\pm}$ dacă se află pe orbita lui $x^{2} \pm y^{k + 1},$ adică există o schimbare difeomorfă a coordonatei în sursă și țintă care coespunde uneia dintre aceste forme ale lui Format:Mvar. Se spune că aceste forme simple $x^{2} \pm y^{k + 1}$ dau Format:Ill-wd pentru singularitățile de tipul Format:Tmath. Se observă că $A_{2 n}^{+}$ sunt aceleași cu $A_{2 n}^{-}$ deoarece schimbarea difeomorfă a coordonatei $(x, y) \to (x, - y)$ din sursă ia $x^{2} + y^{k + 1}$ la $x^{2} - y^{2 n + 1} .$ Deci se poate elimina ± din notația $A_{2 n}^{\pm}$ .

Exemple

Un punct de întoarcere în parabola semicubică $y^{2} = x^{3}$

Un punct de întoarcere ordinar este dat de x2−y3=0, adică mulțimea de nivel zero a singularităților de tip Format:Mvar₂. Fie Format:Mvar (Format:Mvar) o funcție netedă de Format:Mvar și Format:Mvar și să presupunem, pentru simplitate, că Format:Math. Atunci, o singularitate de tip Format:Mvar₂ a lui Format:Mvar în Format:Math poate fi caracterizată prin:
1. Are o parte pătratică degenerată, adică termenii pătratici din seria Taylor a lui Format:Mvar formează un pătrat perfect, de exemplu Format:Mvar(Format:Mvar)², unde Format:Mvar(Format:Mvar) este liniar în Format:Mvar și Format:Mvar, și
2. Format:Mvar(Format:Mvar) nu divide termenii cubici din seria Taylor a lui Format:Mvar (Format:Mvar).
Un punct de întoarcere ramfoid (din Format:Gr = cioc) a desemnat inițial un punct de întoarcere la care ambele ramuri erau de aceeași parte a tangentei, cum ar fi curba ecuației $x^{2} - x^{4} - y^{5} = 0 .$ Deoarece o astfel de singularitate se află în aceeași clasă diferențială ca și punctul de întoarcere al ecuației $x^{2} - y^{5} = 0,$ care este o singularitate de tip Format:Mvar₄, termenul a fost extins la toate singularitățile de acest fel. Punctele de întoarcere ordinare și ramfoide nu sunt difeomorfe. O formă parametrică este $x = t^{2}, y = a x^{4} + x^{5} .$

Pentru o singularitate de tip Format:Mvar₄ este nevoie ca Format:Mvar să aibă o parte pătratică degenerată (aceasta dă tipul Format:Mvar_≥2, căci Format:Mvar trebuie să dividă termenii cubici (aceasta dă tipul Format:Mvar_≥3), altă condiție de divizibilitate (dând tipul Format:Mvar_≥4) și o condiție finală de nedivizibilitate (dând exact tipul Format:Mvar₄).

Pentru a vedea de unde provin aceste condiții suplimentare de divizibilitate, să presupunem că Format:Mvar are o parte pătratică degenerată Format:Mvar² și că Format:Mvar divide termenii cubici. Rezultă că seria Taylor de ordinul trei a lui Format:Mvar este dată de $L^{2} \pm L Q,$ unde Format:Mvar este pătratică în Format:Mvar și Format:Mvar. Se poate Format:Ill-wd pentru a arăta că $L^{2} \pm L Q = (L \pm Q / 2)^{2} - Q^{4} / 4 .$ Acum se poate face o schimbare difeomorfă de variabilă (în acest caz pur și simplu se înlocuiesc polinoame cu părți liniare Format:Ill-wd) astfel încât $(L \pm Q / 2)^{2} - Q^{4} / 4 \to x_{1}^{2} + P_{1}$ unde Format:Mvar₁ este polinom de gradul al patrulea în Format:Mvar₁ și Format:Mvar₁. Condiția de divizibilitate pentru tipul Format:Mvar_≥4 este aceea că Format:Mvar₁ divide Format:Mvar₁. Dacă Format:Mvar₁ nu divide Format:Mvar₁ atunci se obține exact tipul Format:Mvar₃ (mulțimea de nivel zero aici este un punct de osculație). Dacă Format:Mvar₁ divide Format:Mvar₁, se completează pătratul $x_{1}^{2} + P_{1}$ și se schimbă coordonatele astfel încât să existe $x_{2}^{2} + P_{2}$ unde Format:Mvar₂ este polinom de gradul al cincilea în Format:Mvar₂ și Format:Mvar₂. Dacă Format:Mvar₂ nu divide Format:Mvar₂ atunci se obține exact tipul Format:Mvar₄, adică mulțimea de nivel zero va fi un punct de întoarcere ramfoid.

Aplicații

Punctele de întoarcere apar în mod natural atunci când se proiectează pe un plan o curbă netedă din spațiul euclidian tridimensional. În general, o astfel de proiecție este o curbă ale cărei singularități sunt puncte de autointersectare și puncte de întoarcere obișnuite. Punctele de autointersectare apar atunci când două puncte diferite ale curbei au aceeași proiecție. Punctele de întoarcere apar atunci când tangenta la curbă este paralelă cu direcția de proiecție (adică atunci când tangenta se proiectează într-un singur punct). Singularități mai complicate apar atunci când mai multe fenomene apar simultan. De exemplu, punctele de întoarcere ramfoide apar în puncte de inflexiune (și în puncte de ondulare) pentru care tangenta este paralelă cu direcția de proiecție.

Note

↑ Paul Georgescu, Elemente de calcul diferențial (curs, p. 197), Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași, accesat 2023-05-16
↑ Analiză matematică XI (probleme propuse pentru admitere), Universitatea Politehnica Timișoara, 2006, p. 247, accesat 2023-05-16

Bibliografie

Vezi și

Cardioidă

Legături externe

Format:Portal

Format:En icon Physicists See The Cosmos In A Coffee Cup

[PG-1] Paul Georgescu, Elemente de calcul diferențial (curs, p. 197), Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași, accesat 2023-05-16

[UPT-2] Analiză matematică XI (probleme propuse pentru admitere), Universitatea Politehnica Timișoara, 2006, p. 247, accesat 2023-05-16

[1]

[2]

Punct de întoarcere

Cuprins

Clasificarea în geometria diferențială

Exemple

Aplicații

Note

Bibliografie

Vezi și

Legături externe

Meniu de navigare

Punct de întoarcere

Clasificarea în geometria diferențială

Exemple

Aplicații

Note

Bibliografie

Vezi și

Legături externe

Meniu de navigare

Căutare