Relație de echivalență

O relație de echivalență este o relație binară $\equiv$ pe o mulțime Format:Mvar, relație ce îndeplinește următoarele proprietăți:

1. Reflexivitate: $\mathrm{\forall }x\in A,x\equiv x.$.
2. Simetrie: $x\equiv y⟹y\equiv x.$
3. Tranzitivitate: ($x\equiv y$ și $y\equiv z)⟹x\equiv z.$

O relație de echivalență partiționează mulțimea Format:Mvar pe care este definită în clase de echivalență: două elemente $x,y\in A$ sunt în aceeași clasă de echivalență dacă și numai dacă $x\equiv y$. Clasele de echivalență constituie o familie de submulțimi nevide disjuncte două câte două a căror reuniune este mulțimea Format:Mvar. Familia claselor de echivalență se numește mulțimea cât a mulțimii inițiale în raport cu relația de echivalență considerată, și se notează $A/\equiv$.

Exemple

• Congruența modulo Format:Mvar induce relația de echivalență pe mulțimea numerelor întregi $\mathbb{Z}$ următoare:

$x\equiv y⟺x=ymodn,$

adică dacă $x-y$ are rest 0 la împărțirea cu Format:Mvar. Mulțimea cât se notează de obicei cu $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{[0],[1],\dots ,[n-1]\},$

unde clasa de echivalență Format:Math este mulțimea

$[k]=\{\dots ,k-2n,k-n,k,k+n,k+2n,\dots \}.$

• Dacă Format:Mvar este un graf, relația de adiacență $\sim$ definită prin $v\sim u⟺$ „există o muchie între $v$ și $u$” este o relație de echivalență.
• Relația $\rho$ definită pe mulțimea numerelor complexe $ℂ$ prin $z_1\rho z_2⟺|z_1|=|z_2|$ este o relație de echivalență. În planul complex, clasele de echivalență ale acestei relație sunt cercuri cu centrul în origine: clasa de echivalență lui Format:Mvar este cercul $C(0,|z|)=\{w\in ℂ:w=|z|e^{i\pi \theta },\theta \in ℝ\}$.
• Relația de congruența geometrică este o relație de echivalență pe mulțimea tuturor figurilor geometrice.

Vezi și

• Produs cartezian