Curbă plană

În geometrie, o curbă plană este o curbă ale cărei puncte se găsesc în plan (spre deosebire de curba strâmbă).

Ecuații

Ecuația carteziană explicită a unei curbe plane este de forma:

y = y (x),

(1.1)

iar cea implicită:

F (x, y) = 0 .

(1.2)

Ecuația în coordonate polare este:

r = r (θ) .

(1.3)

Ecuațiile parametrice ale curbei plane sunt de forma:

{\begin{matrix} x = x (t) \\ y = y (t) \end{matrix}

(1.4)

Ecuația intrinsecă a unei astfel de curbe este de forma:

ρ = ρ (s),

(1.5)

adică valoarea razei de curbură în funcție de arcul $s .$

Arc de curbă plană

Se numește arc simplu de curbă plană, mulțimea $(C)$ a punctelor $M (x, y) \in ℰ_{2}$ ^[1] a punctelor care satisfac o ecuație de tip:

y = f (x), a < x < b,

(2.1)

unde $a, b \in ℝ$ sunt fixate,

sau o ecuație de tipul:

F (x, y) = 0, a_{1} < x < a_{2}, b_{1} < y < b_{2}

cu

a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in ℝ

(2.2)

sau un sistem de forma:

{\begin{matrix} x = g (t) \\ y = h (t) \end{matrix}, c_{1} < t < c_{2},

(2.3)

cu $c_{1}, c_{2} \in ℝ,$ unde $f, F, g, h$ sunt funcții reale, de clasă cel puțin $C^{1}$ pe domeniile lor de definiție, iar g și h stabilesc o corespondență bijectivă și bicontinuă între punctele $M \in (C)$ și mulțimea valorilor parametrului $t \in (c_{1}, c_{2}) .$

Exemple

Nume	Ecuație implicită	Ecuație parametrică	Ecuație explicită
Dreaptă	$a x + b y = c$	$(x_{0} + α t, y_{0} + β t)$	$y = m x + c$
Cerc	$x^{2} + y^{2} = r^{2}$	$(r \cos t, r \sin t)$
Parabolă	$y - x^{2} = 0$	$(t, t^{2})$	$y = x^{2}$
Elipsă	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	$(a \cos t, b \sin t)$
Hiperbolă	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	$(a \cosh t, b \sinh t)$