Dreapta reală
- Acest articol tratează noțiuni avansate. Pentru noțiuni de bază, vedeți axa numerelor.
În matematică dreapta reală este dreapta ale cărei puncte au coordonatele exprimate prin numere reale. Adică, dreapta reală este mulțimea a tuturor numerelor reale, privite ca un spațiu geometric, și anume, spațiul euclidian de dimensiunea unu. Poate fi considerată ca un spațiu vectorial (sau spațiu afin), un spațiu metric, un spațiu topologic, un spațiu de măsură sau un continuum liniar.
Ca și mulțimea de numere reale, dreapta reală este de obicei notată cu simbolul Format:Math (sau, alternativ, ). Uneori este notată Format:Math pentru a sublinia rolul de primul spațiu euclidian.
Acest articol se concentrează pe aspectele Format:Math ca spațiu geometric în topologie, geometrie și analiza reală. Numerele reale joacă, de asemenea, un rol important în algebră sub formă de corp ordonat, dar în acest context Format:Math este rareori menționat ca fiind o dreaptă. Pentru mai multe informații despre Format:Math în toate formele sale, vezi articolul număr real.
Continuum liniar
Dreapta reală este un continuum liniar conform ordonării standard „ Format:Math ”. Mai exact, dreapta reală este ordonată liniar de Format:Math, iar această ordonare este densă și are Format:Ill-wd.
În plus față de proprietățile de mai sus, dreapta reală nu are maxim sau minim. Are, de asemenea, o submulțime numărabilă densă, și anume mulțimea numerelor raționale. Există o teoremă conform căreia orice continuum liniar cu o submulțime numărabilă densă și fără element maxim sau minim este un izomorfism de mulțimi ordonate față de dreapta reală.
Dreapta reală satisface, de asemenea, condiția lanțului numărabil: orice colecție de intervale deschise nevide disjuncte mutual din Format:Math este numărabilă. În Format:Ill-wd, celebra problemă a lui Suslin se întreabă dacă fiecare continuum liniar care satisface condiția lanțului numărabil care nu are element maxim sau minim este în mod necesar izomorf din punct de vedere al ordonării cu Format:Math. S-a dovedit că această afirmație este independentă de sistemul axiomatic standard al teoriei mulțimilor cunoscut sub numele de sistemul axiomatic Zermelo-Fraenkel.
Ca spațiu metric
Dreapta reală formează un spațiu metric, cu Metrica dată de diferența absolută:
Format:Ill-wd este în mod clar metrica euclidiană unidimensională. Deoarece metrica euclidiană Format:Mvar-dimensională poate fi reprezentată sub formă de matrice ca matricea unitate n × n, metrica dreptei reale este pur și simplu matricea unitate 1 × 1, adică 1.
Dacă Format:Math și Format:Math, atunci Format:Mvar-bila din Format:Math centrată în Format:Mvar este intervalul deschis Format:Math.
Ca spațiu metric, dreapta reală are câteva proprietăți importante:
- Dreapta reală este un Spațiu complet, în sensul că orice șir Cauchy de puncte converge.
- Dreapta reală este conexă pe cale și este unul dintre cele mai simple exemple de spațiu metric geodezic.
- Dimensiunea Hausdorff a dreptei reale este egală cu unu.
Ca spațiu topologic
Dreapta reală are o topologie standard, care poate fi introdusă în două moduri diferite, echivalente. În primul rând, deoarece numerele reale sunt total ordonate, ele au o Format:Ill-wd. În al doilea rând, numerele reale moștenesc o topologie metrică din metrica definită mai sus. Topologia de ordine și topologia metrică pe Format:Math sunt aceleași. Ca spațiu topologic, dreapta reală este Format:Ill-wd cu intervalul deschis Format:Math.
Trivial, dreapta reală este o Format:Ill-wd de dimensiune 1. Până la homeomorfism, este una dintre cele două 1-varietăți diferite conexe fără frontieră, cealaltă fiind cercul. De asemenea, are o structură diferențiabilă standard, făcând-o o Format:Ill-wd. (Până la difeomorfism există o singură structură diferențiabilă pe care o admite spațiul topologic.)
Dreapta reală este un Format:Ill-wd și un Format:Ill-wd, precum și un spațiu cu bază numărabilă și un spațiu normal. Este, de asemenea, conexă pe cale, prin urmare, este un spațiu conex, deși poate fi deconectat prin eliminarea unui punct oarecare. Dreapta reală este, de asemenea, contractibilă, ca atare toate grupurile sale de Format:Ill-wd și omotopie redusă sunt zero.
Ca spațiu local compact, dreapta reală poate fi compactificată în mai multe moduri diferite. Format:Ill-wd a lui Format:Math este un cerc (și anume, dreapta proiectivă reală), iar punctul suplimentar poate fi considerat ca un infinit fără semn. Alternativ, dreapta reală are două capete, iar compactificarea finală rezultată este Format:Ill-wd Format:Math. Există și Format:Ill-wd a dreptei reale, care implică adăugarea unui număr infinit de puncte suplimentare.
În unele contexte este util să fie plasate alte topologii pe mulțimea numerelor reale, cum ar fi Format:Ill-wd sau Format:Ill-wd.
Ca spațiu vectorial
Dreapta reală este un spațiu vectorial peste corpul Format:Math de numere reale (adică peste ea însăși) de dimensiunea 1. Are înmulțirea obișnuită ca spațiu prehilbertian, făcându-l un spațiu vectorial euclidian. Norma definită de acest produs este pur și simplu valoarea absolută.
Ca spațiu de măsură
Dreapta reală are o măsură canonică, și anume măsura Lebesgue. Această măsură poate fi definită drept completarea unei măsuri Borel definită pe Format:Math, unde măsura oricărui interval este lungimea intervalului.
Măsura Lebesgue pe dreapta reală este unul dintre cele mai simple exemple de Format:Ill-wd pe un grup local compact.
În algebrele reale
Dreapta reală este un Format:Ill-wd unidimensional al unei algebre reală A unde R ⊂ A. De exemplu, în planul complex z = x + i y, subspațiul {z : y = 0} este o dreaptă reală. Similar, algebra cuaternionilor
- q = w + x i + y j + z k
are o dreaptă reală în subspațiul {q : x = y = z = 0}.