Măsura Lebesgue

Format:Referințe Măsura Lebesgue este o modalitate generală de a defini, în spațiul euclidian, "conținutul" unei figuri geometrice, în caz particular, lungime, arie, volum. Numele i se datorează matematicianului francez Henri Lebesgue.

Definiție

Fie $(ℝ,ℬ)$ spațiul măsurabil $ℝ$ înzestrat cu algebra boreliană. Există o unică măsură peste acest spațiu, numită măsură Lebesgue și notată $\lambda ,$ care posedă proprietățile:

• $\mathrm{\forall }a\in ℝ,\mathrm{\forall }A\in ℬ,\lambda (a+A)=\lambda (A)$ (invarianță la translație)
• $\lambda ([0,1])=1$

Exemple

• Intervalele   $[a,b]$ și   $(a,b)$   au măsura Lebesgue de valoare   $b-a$.

• Produsul cartezian al intervalelor $[a,b]$ și $[c,d]$ are ca măsură Lebesgue aria $(b-a)(d-c)$.

• Mulțimea lui Cantor este nenumărabilă și are măsură Lebesgue nulă.

Vezi și

• Teoria măsurii