Mulțime conexă

Format:Problemearticol O mulțime este conexă într-un spațiu topologic dacă nu este reuniunea a două mulțimi nevide deschise și disjuncte. Folosind limbajul obișnuit, o mulțime conexă poate fi descrisă ca fiind o mulțime formată dintr-o singură bucată. De exemplu, intervalele de numere reale sunt mulțimi conexe.

Definiții și caracterizări

Fie (S,d) un spațiu metric.
Se spune despre o mulțime $A \subset$ S că este conexă dacă în S nu există două mulțimi deschise D₁ și D₂ astfel încât

D_{1} \cap A \neq \emptyset, D_{2} \cap A \neq \emptyset, D_{1} \cap D_{2} = \emptyset, D_{1} \cup D_{2} \supseteq A

O mulțime care nu este conexă se numește neconexă. O mulțime deschisă și conexă se numește domeniu.

Dacă o mulțime este conexă într-un spațiu topologic atunci spațiul respectiv este un spațiu topologic conex.

O multime $A \subseteq ℝ$ este conexă dacă și numai dacă este interval.
O mulțime nevidă $A \subseteq S$ a unui spațiu metric este conexă dacă și numai dacă orice funcție continuă de forma $f : A \to {0, 1}$ este constantă.

Altfel spus, o mulțime $A$ este conexă dacă și numai dacă $A$ nu se poate reprezenta ca reuniunea a două mulțimi deschise relativ la $A$ , disjuncte și nevide. Din acest motiv, mulțimile conexe se mai numesc și mulțimi dintr-o singură bucată.

Aderența oricărei mulțimi conexe este o mulțime conexă.
Fie Á o familie de mulțimi conexe în (S,d) a cărei intersecție este nevidă. Atunci reuniunea sa este de asemenea o mulțime conexă în (S,d).
Dacă $x \in S$ , atunci clasa de echivalență care îl conține pe x se numește componenta conexă a punctului x și se notează cu C_x.

Evident, dacă (S,d) este un spațiu topologic conex atunci C_x=S pentru orice $x \in S$ .

Fie T o mulțime deschisă în spațiul topologic (S,d). Atunci T este neconvexă dacă și numai dacă există două mulțimi nevide, deschise și disjuncte T₁ și T₂ cu $T = T_{1} \cup T_{2}$ .
Fie F o mulțime închisă în spațiul topologic (S,d). Atunci F este neconvexă dacă și numai dacă există două mulțimi nevide, disjuncte și închise F₁ și F₂ cu $F = F_{1} \cup F_{2}$ .

Exemple

Mulțimea vidă și mulțimile formate dintr-un singur element (singletoanele) sunt conexe în orice spațiu topologic.
Mulțimea A={0,1} din $ℝ$ nu este conexă deoarece există, de exemplu, mulțimile deschise $D_{1} = (- \infty, \frac{1}{2})$ și $D_{2} = (\frac{1}{3}, \infty)$ astfel încât

$D_{1} \cap A \neq \emptyset, D_{2} \cap A \neq \emptyset, D_{1} \cap D_{2} = \emptyset, D_{1} \cup D_{2} \supseteq A$ .

Dacă d_b este topologia banală pe S atunci (S,d_b) este un spațiu topologic conex.
Dacă pe $ℝ$ se consideră topologia discretă t₀, atunci ( $ℝ$ , t₀) nu este un spațiu topologic conex.
Mulțimea (hiperbola)

$H = {(x, y) \in ℝ^{2} : x^{2} - y^{2} = 1}$ nu este conexă în ( $ℝ^{2}$ , d) căci mulțimile deschise $D_{1} = {(x, y) \in ℝ^{2} : x > 0}$ și $D_{2} = {(x, y) \in ℝ^{2} : x < 0}$ au proprietățile
$(1, 0) \in D_{1} \cap H, (- 1, 0) \in D_{2} \cap H, D_{1} \cap D_{2} = \emptyset, D_{1} \cup D_{2} \supseteq H$ .

Bibliografie

Mihail Megan, Analiză matematică, volumul I, Editura Mirton, Timișoara,1999,pag.152-160
Nicolae Cotfas, Liviu Adrian Cotfas, Elemente de analiză matematică, Editura Universității din București, București, 2010, pp. 82-87.

Legături externe

http://fpcm5.fizica.unibuc.ro/~ncotfas/Elemente-de-Analiza-Matematica.pdf Format:Webarchive

Vezi și

Mulțime conexă

Cuprins

Definiții și caracterizări

Exemple

Bibliografie

Legături externe

Vezi și

Meniu de navigare

Mulțime conexă

Definiții și caracterizări

Exemple

Bibliografie

Legături externe

Vezi și

Meniu de navigare

Căutare