Sigma-algebră

Sigma-algebra reprezintă o noțiune de bază în cadrul teoriei măsurii. Are aplicații în teoria probabilității și în stocastică.

Definiție

Considerăm mulțimea $\mathrm{\Omega }$. Notăm $𝒫(\mathrm{\Omega })$ mulțimea submulțimilor acesteia. Atunci o submulțime $𝒜$ a $𝒫(\mathrm{\Omega })$, i.e. $𝒜\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ se numește "σ- Algebră" dacă:

1. Mulțimea de bază $\mathrm{\Omega }$ este element al lui $𝒜$ :

$\mathrm{\Omega }\in 𝒜$ .

2. Dacă $𝒜$ conține o mulțime A, atunci conține și complementara acesteia $A^c=\mathrm{\Omega }\setminus A$ :

$A\in 𝒜\Rightarrow A^{\mathrm{c}}\in 𝒜$

3. Dacă un număr infinit de mulțimi aparțin lui $𝒜$ , atunci și reuniunea acestora va fi element al lui $𝒜$ :

$A_1,A_2,\dots \in 𝒜\Rightarrow \bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n\in 𝒜$

Consecințe

• Din condițiile 1 și 2 rezultă:

$\mathrm{\varnothing }\in 𝒜$ .

• Dacă $A_n\in 𝒜$ unde $n\in \mathbb{N}$ , atunci din legile lui De Morgan rezultă:

$\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n={\left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}^{\mathrm{c}}\right)}^c$ .

• De aici rezultă imediat că, dacă $A_1,A_2,\dots \in 𝒜$ , atunci:

$\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n\in 𝒜$ .

• Dacă $A,B\in 𝒜$ atunci

$A\setminus B=A\cap B^{\mathrm{c}}\in 𝒜$ .

Așadar, $𝒜$ este închisă în raport cu diferența mulțimilor.

Exemple

• σ- algebră trivială (discretă):

$𝒜=𝒫(\mathrm{\Omega })$ .

• σ - algebră grosieră:

$𝒜=\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$ .

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957

Vezi și

• Măsura Lebesgue
• Algebră boreliană

Legături externe

• Format:En icon Sigma-algebră la Planetmath Format:Webarchive
• Format:Fr icon Curs referitor la sigma-algebră Format:Webarchive