Spirală sinusoidală

Format:Spirale sinusoidale În geometria algebrică spiralele sinusoidale sunt o familie de curbe definite de ecuația în coordonate polare

$r^n=a^n\cos (n\theta )$

unde Format:Mvar este o constantă diferită de zero, iar Format:Mvar este un număr rațional altul decât 0. Cu o rotație în jurul originii, aceasta poate fi de asemenea scrise

$r^n=a^n\sin (n\theta ).$

Termenul de „spirală” este o denumire greșită, deoarece de fapt nu sunt Format:Ill-wd, ci adesea au o formă asemănătoare unei Format:Ill-wd. Multe curbe bine-cunoscute sunt spirale sinusoidale, de exemplu:

• Hiperbola echilaterală (Format:Math)
• Dreapta (Format:Math)
• Parabola (Format:Math)
• Cubica Tschirnhausen (Format:Math)
• Sextica lui Cayley (Format:Math)
• Cardioida (Format:Math)
• Cercul (Format:Math)
• Lemniscata lui Bernoulli (Format:Math)

Această familie de curbe a fost studiată pentru prima oară de Colin Maclaurin.

Ecuații

Prin derivarea lui

$r^n=a^n\cos (n\theta )$

și eliminarea lui Format:Mvar se obține ecuația diferențială în Format:Mvar și Format:Mvar:

$\frac{dr}{d\theta }\cos n\theta +r\sin n\theta =0$.

Atunci

$(\frac{dr}{ds},r\frac{d\theta }{ds})\cos n\theta \frac{ds}{d\theta }=(-r\sin n\theta ,r\cos n\theta )=r(-\sin n\theta ,\cos n\theta )$

care implică faptul că unghiul tangențial polar este

$\psi =n\theta \pm \pi /2$

și deci unghiul tangențial este

$\phi =(n+1)\theta \pm \pi /2$.

(Semnul de aici este pozitiv dacă Format:Mvar și Format:Math au același semn și negativ în caz contrar.)

Comparând versorul tangent

$(\frac{dr}{ds},r\frac{d\theta }{ds})$,

cu mărimea vectorilor de pe fiecare parte a ecuației de mai sus se obține

$\frac{ds}{d\theta }=r{\cos }^{-1}n\theta =a{\cos }^{-1+\frac{1}{n}}n\theta$.

În particular, lungimea unei singure bucle când $n>0$ este:

$a\underset{-\frac{\pi }{2n}}{\overset{\frac{\pi }{2n}}{\int }}{\cos }^{-1+\frac{1}{n}}n\theta d\theta$

Curbura este

$\frac{d\phi }{ds}=(n+1)\frac{d\theta }{ds}=\frac{n+1}{a}{\cos }^{1-\frac{1}{n}}n\theta$.

Proprietăți

Inversa unei spirale sinusoidale în raport cu un cerc cu centrul în origine este o altă spirală sinusoidală a cărei valoare a lui Format:Mvar este negativul valorii curbei originale a lui Format:Mvar. De exemplu, inversa lemniscatei lui Bernoulli este o hiperbolă dreptunghiulară.

Format:Ill-wd, podara și podara negativă ale unei spirale sinusoidale sunt spirale sinusoidale diferite.

Traiectoria unei particule asupra căreia acționează o forță centrală proporțională cu o putere a lui Format:Mvar este o spirală sinusoidală.

Când Format:Mvar este un număr întreg și punctele Format:Mvar sunt aranjate regulat pe un cerc cu raza Format:Mvar, atunci mulțimea punctelor aranjate astfel încât media geometrică a distanțelor de la punct la Format:Mvar formează o spirală sinusoidală. În acest caz, spirala sinusoidală este o lemniscată polinomială.

Bibliografie

• Format:En icon Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Spiral" p. 213–214
• Format:En icon "Sinusoidal spiral" at www.2dcurves.com
• Format:En icon "Sinusoidal Spirals" at The MacTutor History of Mathematics
• Format:En icon Format:MathWorld

Legături externe

• Format:Commonscat-inline