Unghi tangențial

Unghiul tangențial Format:Mvar al unei curbe oarecare Format:Mvar

În geometrie unghiul tangențial al unei curbe în planul cartezian, într-un anumit punct, este unghiul dintre tangenta în acel punct la curba dată și axa Format:Mvar. (Unii autori definesc unghiul ca fiind abaterea față de direcția curbei într-un punct inițial, fix. Aceasta este echivalentă cu definiția dată aici prin adăugarea unei constante la unghi sau prin rotirea curbei.)

Ecuații

Dacă o curbă este definită parametric prin Format:Math, atunci unghiul tangențial Format:Mvar în Format:Mvar este definit (până la un multiplu de Format:Math) prin

$\frac{(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))}{|x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)|}=(\cos \phi ,\sin \phi ).$

Aici, simbolul „ ${\prime }^{}$ ” (prim) indică derivata în raport cu Format:Mvar. Astfel, unghiul tangențial specifică direcția vectorului viteză Format:Math, în timp ce viteza specifică mărimea acestuia. Vectorul

$\frac{(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))}{|x^{\prime }{y}^{\prime }(t)|}$

este numit versor, deci o definiție echivalentă este aceea că unghiul tangențial la Format:Mvar este unghiul Format:Mvar astfel încât Format:Math este versorul tangent la Format:Mvar.

Dacă curba este parametrizată prin Format:Ill-wd Format:Mvar, astfel încât Format:Math, atunci definiția se simplifică la

$(x^{\prime }(s),y^{\prime }(s))=(\cos \phi ,\sin \phi ).$

În acest caz, curbura Format:Mvar este dată de Format:Math, unde Format:Mvar se ia pozitiv dacă curba se îndoaie spre stânga și negativ dacă curba se îndoaie spre dreapta. Invers, unghiul tangențial într-un punct dat este egal cu integrala definită a curburii până la acel punct:

$\phi (s)=\underset{0}{\overset{s}{\int }}\kappa (s)ds+{\phi }_0,$

$\phi (t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\kappa (t)s^{\prime }(t)dt+{\phi }_0.$

Dacă curba este dată de graficul funcției Format:Math, atunci se poate lua Format:Math ca parametrizare, și se poate considera că Format:Mvar este între Format:Math și Format:Math. Asta duce la expresia explicită

$\phi =\arctan f^{\prime }(x).$

Unghi tangențial polar

În coordonate polare unghiul tangențial polar este definit ca unghiul dintre tangenta la curbă în punctul dat și raza de la origine la punct. Dacă prin Format:Mvar este notat unghiul tangențial polar, atunci Format:Math, unde Format:Mvar este ca mai sus și Format:Mvar este, ca de obicei, unghiul polar.

Dacă curba este definită în coordonate polare prin Format:Math, atunci unghiul tangențial polar Format:Mvar la Format:Mvar este definit (până la un multiplu de Format:Math) prin

$\frac{(f^{\prime }(\theta ),f(\theta ))}{|f^{\prime }(\theta ),f(\theta )|}=(\cos \psi ,\sin \psi )$.

Dacă curba este parametrizată prin lungimea arcului Format:Mvar drept Format:Math, Format:Math, astfel încât Format:Math, atunci definiția devine

$(r^{\prime }(s),r{\theta }^{\prime }(s))=(\cos \psi ,\sin \psi )$.

Spirala logaritmică poate fi definită o curbă al cărei unghi polar tangențial este constant.

Lectură suplimentară

• Format:En icon Format:Cite web
• Format:En icon Format:Cite book

Vezi și

• Geometria diferențială a curbelor

• Ecuație Whewell
• Subtangentă