Cubica Tschirnhausen

Cubica Tschirnhausen pentru cazul Format:Math

În geometria algebrică cubica Tschirnhausen este o curbă plană, definită în forma sa cu deschiderea la stânga de ecuația polară

$r=a{\sec }^3\left(\frac{\theta }{3}\right)$

unde Format:Math este funcția secantă.

Este o trisectoare.

Istoric

Curba a fost studiată de Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, Guillaume de l'Hôpital și Eugène Charles Catalan. Numele de „cubica Tschirnhausen” i-a fost dat de către Raymond Clare Archibald într-o lucrare din 1900. Mai este cunoscută sub numele de „cubica lui L'Hôpital” sau „curba trisectoare a lui Catalan”, care i-a stabilit expresia în coordonate carteziene.

Alte relații

Fie $t=\tan (\theta /3)$. Aplicând formula lui Moivre se obține

$x=a\cos \theta {\sec }^3\frac{\theta }{3}=a({\cos }^3\frac{\theta }{3}-3\cos \frac{\theta }{3}{\sin }^2\frac{\theta }{3}){\sec }^3\frac{\theta }{3}=a(1-3{\tan }^2\frac{\theta }{3})$

$=a(1-3t^2)$

$y=a\sin \theta {\sec }^3\frac{\theta }{3}=a(3{\cos }^2\frac{\theta }{3}\sin \frac{\theta }{3}-{\sin }^3\frac{\theta }{3}){\sec }^3\frac{\theta }{3}=a(3\tan \frac{\theta }{3}-{\tan }^3\frac{\theta }{3})$

$=at(3-t^2)$

forma parametrică a curbei. În coordonate carteziene parametrul Format:Mvar poate fi eliminat ușor, obținându-se

$27a{y}^2=(a-x)(8a+x{)}^2$.

Dacă curba este translată orizontal cu Format:Math și semnele variabilelor sunt modificate, ecuațiile curbei care rezultă cu deschidere la dreapta sunt

$x=3a(3-t^2)$

$y=at(3-t^2)$

și în coordonate carteziene

$x^3=9a(x^2-3y^2)$.

Asta dă forma alternativă în coordonate polare

$r=9a(\sec \theta -3\sec \theta {\tan }^2\theta )$.

Generalizare

Cubica Tschirnhausen este o spirală sinusoidală cu $n=-1/3$.

Vezi și

• Trisecțiunea unghiului

Legături externe

• Format:En icon Format:MathWorld

• Format:En icon "Tschirnhaus' Cubic" at MacTutor History of Mathematics archive
• Format:En icon Tschirnhausen cubic at mathcurve.com