Forță centrală

Format:ReferințeÎn mecanică, forța centrală este o forță ce se exercită asupra unui punct material , al cărei suport trece în permanență printr-un punct fix și depinde numai de distanța până la acel punct, numit centru de forță.

Exemple: forța electrostatică, forța gravitațională, forța elastică.

Forța centrală este o forță conservativă.

Expresie matematică

Se definește forța centrală în raport cu un punct  $O$  ca fiind un vector invariant la grupul mișcărilor plane ce lasă fix punctul  $O.$  Deci dreapta suport a forței trece prin  $O$  iar modului acesteia depinde doar de distanța de la punctul ei de aplicație la punctul  $O.$  

$𝐅(𝐱)=F(r)\frac{𝐱}{r},𝐱=\overrightarrow{OP},r=|𝐱|,$

$(1.1)$

unde  $P$  este punctul material considerat.

Dacă  $F(r)<0$  forța centrală se numește atractivă, iar dacă  $F(r)>0$  forța centrală se numește repulsivă.

Din formula (1.1) rezultă că  $rot𝐅=0,$  deci forțele centrale sunt forțe conservative.

Expresia în coordonate polare

Dacă  $(r,\theta )$  sunt coordonatele polare ale punctului  $P$  atunci vectorul viteză poate fi scris:

$\overrightarrow{v}=(\dot{r},r\dot{\theta })$  (în raport cu reperul  $({\overrightarrow{e}}_r,{\overrightarrow{e}}_{\theta })$)

$(1.1.1)$

Fie  $\overrightarrow{\rho }=\frac{\overrightarrow{r}}{r}=\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|}$  versorul vectorului de poziție  $\overrightarrow{r}.$  Atunci:

$\overrightarrow{F}=F\overrightarrow{\rho }=F\frac{\overrightarrow{r}}{r}.$

$(1.1.2)$

Exemple

Forța elastică

Format:Articol principal În cazul forței elastice  $𝐅(𝐱)=-k𝐱,$  unde  $k=const.>0$  se numește modul de elasticitate. Acest rezultat se bazează pe experimente (legea lui Hooke).

Potențialul forței elastice are forma:

$\mathrm{\Pi }(x)=-\frac{k}{2}\sum _{i=1}^3{x}_i^2+𝒞$

$(2.1.1)$

unde  $x_i,i=\overline{1,3}$  sunt componentele carteziene ale vectorului  $𝐱.$

Forța de atracție universală

Format:Articol principal Forța pe care un corp de masă  $M$  o exercită asupra unui corp de masă  $m$  este dată de legea lui Newton:

$𝐅(𝐱)=-K\frac{Mm}{r^2}\cdot \frac{𝐱}{r},$

$(2.2.1)$

unde  $K$  este constanta atracției universale, care este determinată experimental și are valoarea:

$K=6,673\times 10^{-11}\frac{m^3}{kg\times s^2}.$

$(2.2.2)$

Potențialul forței de atracție universale are forma:

$\mathrm{\Pi }(𝐱)=K\frac{Mm}{r}+𝒞.$

$(2.2.3)$

Conservarea momentului cinetic

Din teorema momentului cinetic  $(\frac{d{\overrightarrow{K}}_0}{dt}={\overrightarrow{M}}_0(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}=0)$  rezultă  $\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}\times m\overrightarrow{v}=0.$ 

Se obține integrala primă a ariilor:

	$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{c}={\overrightarrow{r}}_0\times {\overrightarrow{v}}_0$	$(3.1)$
	$\overrightarrow{r}(t_0)={\overrightarrow{r}}_0,\overrightarrow{v}(t_0)={\overrightarrow{v}}_0.$

Viteza areolară a punctului  $P$  este:

$\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v})=\frac{\overrightarrow{c}}{2},\mathrm{\forall }t\ge t_0,$

$(3.2)$

deci viteza areolară este constantă.

Prin urmare, mișcarea punctului  $P$  sub acțiunea forței centrale  $\overrightarrow{F}$  are loc astfel încât momentul cinetic și viteza areolară sunt constante vectoriale,  $\mathrm{\forall }t\ge t_0.$