Serie de puteri

În matematică, o serie de puteri (de o singură variabilă) este o sumă infinită de forma:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-c)}^n=a_0+a_1(x-c{)}^1+a_2(x-c{)}^2+a_3(x-c{)}^3+\cdots$

unde a_n reprezintă coeficienții celui de-al n-lea termen , c este o constantă, iar x variază in jurul lui c (din acest motiv se mai spune că seria este "centrată" în jurul lui c). Această serie provine din serie Taylor a unei funcții.

În multe situații c este nul, de exemplu în cazul seriei Maclaurin. În astfel de cazuri, seria de puteri are o formă mai simplă:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\dots .$

Astfel de serii sunt utilizate în analiza matematică, în combinatorică, dar și în electrotehnică (transformata Z). De asemenea, scrierea numerelor zecimale poate fi considerată o aplicație a seriilor de puteri cu coeficienți întregi și având ca argument x de valoarea 1/10. În teoria numerelor, seriile de puteri se aplică la studiul numerelor p-adice.

Proprietățile seriilor de puteri

Seriile de puteri au o deosebită importanță în cercetările teoretice și în științele aplicate. Câteva din proprietățile lor vor fi prezentate în continuare.

• Convergența uniformă a seriilor de puteri în intervalul de convergență .

Teoremă. Fie $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ o serie de puteri convergentă pe intervalul $(-R,+R)$. Pentru orice număr $r$, astfel încât $0<r<R$, seria este uniform convergentă pe intervalul $[-r,+r]$.

Demonstrație.

Deoarece $r<R$ și $r>0$, rezultă, conform teoremei lui Abel, că seria $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ este absolut convergentă, deci pentru $|x|\le r$ seria $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ este absolut covergentă.

Dar $|a_n{x}^n|\le |a_n|r^n$ și conform criteriului de convergență uniformă a seriilor de funcții rezultă că seria de puteri este uiform convergentă.

Această teoremă are două consecințe:

Consecința 1. Suma $S$ a unei serii de puteri $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ este o funcție continuă pe intervalul de convergență.

Demonstrație.

Pe orice interval $[-r,+r]\subset (-R,R)$ seria de puteri este uniform convergentă și toți termenii seriei sunt funcții continue, rezultă că suma serie $S$ este o funcție continuă pe $[-r,+r]$.

Consecința 2. Suma $S$ a unei serii de puteri $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ este uniform continuă pe orice interval compact $I$ conținut în intervalul de convergență.

Demonstrație.

Pe orice interval $I=[a,b]\subset (-R,R)$ suma $S$ este continuă, deci fiind continuă pe un interval compact rezultă că este uniform continuă pe intervalul compact $I$.

• Derivarea seriilor de puteri în intervalul de convergență.

Teoremă. Fie $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ o serie de puteri convergentă pe intervalul $(-R,+R)$. Seria $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1}$, formată cu derivatele termenilor seriei date, are același interval de convergență ca și seria dată.

Demonstrație.

Dacă notăm cu $R^{\prime }$ raza de convergență a serie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1}$, avem

$R^{\prime }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+1}{n+2}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n+2}}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n+2}}\right|=R.$

Această teoremă are mai multe consecințe:

Consecința 1. Suma serie formată cu derivatele termenilor seriei de puteri este derivata sumei seriei de puteri, în intervalul de convergență. Dacă notăm

$S(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ și $\varphi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1}$,

atunci

$S^{\prime }(x)=\varphi (x)$ pentru orice $x\in (-R,R)$.

Demonstrație.

Seria derivatelor având aceeași rază de convergență ca și seria inițială, rezultă că seria derivatelor este uniform convergentă în intervalul de convergență a seriei inițiale. Deci, derivata sumei $S$ este egală cu suma seriei derivatelor termenilor, $S^{\prime }=\varphi$.

Consecința 2. Suma serie formată cu derivatele termenilor unei serii de puteri este o funcție continuă și derivabilă pe intervalul de convergență.

Consecința 3. Dacă $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ este o serie de puteri cu raza de convergență $R$:

1. seria formată cu derivatele de ordinul $n$ ale termenilor seriei are aceeași rază de convergență $R$;
2. suma $S$ a seriei $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ este indefinit derivabilă pe intervalul de convergență $(-R,R)$ și derivata de ordinul $n$, $S^{(n)}(x)$ este egală cu suma seriei derivatelor de ordinul $n$ pentru orice $x\in (-R,R)$.

Operații cu serii de puteri

Fie $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ și $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{x}^n$ două serii de puteri cu raze de convergență $R_1$, respectiv $R_2$.

• Suma celor două serii de puteri este tot o serie de puteri, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n+b_n)x^n$, care are ca rază de convergență $R\ge min(R_1,R_2)$.

Într-adevăr, pentru orice $x_0$, astfel încât $|x_0|<R_1,|x_0|<R_2$, seriile numerice $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_0^n$ și $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{x}_0^n$ sunt convergente, rezultă că și seria sumă este convergentă.

Dacă $A(x)$ și $B(x)$ sunt sumele celor două serii și $S(x)$ este suma seriei $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n+b_n)x^n$, avem $S(x)=A(x)+B(x)$ petru orice $|x|<R$.

• Diferența celor două serii de puteri este tot o serie de puteri, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n-b_n)x^n$, care are ca rază de convergență $R\ge min(R_1,R_2)$.

Dacă $D(x)$ este suma seriei $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n-b_n)x^n$, atunci

$D(x)=A(x)-B(x)$ petru orice $|x|<R$.

• Produsul celor două serii de puteri este tot o serie de puteri,

$a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)x+\dots +(a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+\dots +a_n{b}_0)x^n+\dots ,$

care are ca rază de convergență $R\ge min(R_1,R_2)$.

Dacă $T(x)$ este suma seriei produs, atunci

$T(x)=A(x)\cdot B(x)$ petru orice $|x|<R$.

• Câtul celor două serii de puteri cu sumele $A(x)$, $B(x)$, $b_0\ne 0$ este o serie de puteri cu suma $C(x)$,

$c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\dots +c_n{x}^n+\dots ,$

cu coeficienți $c_0,c_1,\dots$ definiți de egalitatea $A(x)=B(x)\cdot C(x)$.

Coeficienții $c_0,c_1,\dots$ se determină dintr-un sistem de ecuații liniare infinit.

$\{\begin{array}{c}{a}_0=b_0{c}_0\\ a_1=b_0{c}_1+b_1{c}_0\\ a_2=b_0{c}_2+b_1{c}_1+b_2{c}_0\\ \dots \\ a_n=b_0{c}_n+b_1{c}_{n-1}+\dots b_{n-1}{c}_1+b_n{c}_0\\ \dots \end{array}$

Serii de puteri remarcabile

Nr. crt.	$f(x)$	Domeniu maxim de definiție	Dezvoltarea în serie de puteri ale lui $x$ pentru funcția $f(x)$	Raza de convergență a seriei	Mulțimea de convergență a seriei	Mulțimea de divergență a seriei
1.	$e^x$	$ℝ$	$\sum _{n\ge 0}\frac{1}{n!}\cdot x^n$	$\mathrm{\infty }$	$ℝ$	$\hat{A}$
2.	$e^{-x}$	$ℝ$	$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{n!}\cdot x^n$	$\mathrm{\infty }$	$ℝ$	$\hat{A}$
3.	$a^x$, $a>0,a\ne 1$	$ℝ$	$\sum _{n\ge 0}\frac{(\ln a{)}^n}{n!}\cdot x^n$	$\mathrm{\infty }$	$ℝ$	$\hat{A}$
4.	$\cos x$	$ℝ$	$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}\cdot x^{2n}$	$\mathrm{\infty }$	$ℝ$	$\hat{A}$
5.	$\sin x$	$ℝ$	$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}\cdot x^{2n+1}$	$\mathrm{\infty }$	$ℝ$	$\hat{A}$
6.	$\arctan x$	$ℝ$	$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}\cdot x^{2n+1}$	$1$	$[-1,1]$	$D_f/M_C$
7.	$\cosh x$	$ℝ$	$\sum _{n\ge 0}\frac{1}{(2n)!}\cdot x^{2n}$	$\mathrm{\infty }$	$ℝ$	$\hat{A}$
8.	$\sinh x$	$ℝ$	$\sum _{n\ge 0}\frac{1}{(2n+1)!}\cdot x^{2n+1}$	$\mathrm{\infty }$	$ℝ$	$\hat{A}$
9.	$(\alpha +x{)}^a$, $a,\alpha \in ℝ$	$(-\alpha ,\mathrm{\infty })$	$\sum _{n\ge 0}\frac{a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{{\alpha }^{n-a}\cdot n!}\cdot x^n$	$\alpha$	$(-\alpha ,\alpha )$	$D_f\setminus M_C$
10.	$(\alpha -x{)}^a$, $a,\alpha \in ℝ$	$(-\mathrm{\infty },-\alpha )$	$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^{n}a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{{\alpha }^{n-a}\cdot n!}\cdot x^n$	$\alpha$	$(-\alpha ,\alpha )$	$D_f\setminus M_C$
11.	$(1+\alpha x{)}^a$, $a,\alpha \in ℝ$	$(-\frac{1}{\alpha },\mathrm{\infty },)$	$\sum _{n\ge 0}\frac{{\alpha }^{n}a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{{\alpha }^{n-a}\cdot n!}\cdot x^n$	$\frac{1}{\alpha }$	$(-\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\alpha })$	$D_f\setminus M_C$
12.	$(1-\alpha x{)}^a$, $a,\alpha \in ℝ$	$(-\mathrm{\infty },\frac{1}{\alpha })$	$\sum _{n\ge 0}\frac{(-\alpha {)}^{n}a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{{\alpha }^{n-a}\cdot n!}\cdot x^n$	$\frac{1}{\alpha }$	$(-\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\alpha })$	$D_f\setminus M_C$
13.	$\frac{1}{\alpha +x}$, $\alpha \in {ℝ}^{*}$	$ℝ\setminus \{-\alpha \}$	$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{{\alpha }^{n+1}}\cdot x^n$	$\alpha$	$(-\alpha ,\alpha )$	$D_f\setminus M_C$
14.	$\frac{1}{\alpha -x}$, $\alpha \in {ℝ}^{*}$	$ℝ\setminus \{-\alpha \}$	$\sum _{n\ge 0}\frac{1}{{\alpha }^{n+1}}\cdot x^n$	$\alpha$	$(-\alpha ,\alpha )$	$D_f\setminus M_C$
15.	$\frac{1}{1+\alpha x}$, $\alpha \in {ℝ}^{*}$	$ℝ\setminus \{-\frac{1}{\alpha }\}$	$\sum _{n\ge 0}(-\alpha {)}^n\cdot x^n$	$\frac{1}{\alpha }$	$(-\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\alpha })$	$D_f\setminus M_C$
16.	$\frac{1}{1-\alpha x}$, $\alpha \in {ℝ}^{*}$	$ℝ\setminus \{-\frac{1}{\alpha }\}$	$\sum _{n\ge 0}{\alpha }^n\cdot x^n$	$\frac{1}{\alpha }$	$(-\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\alpha })$	$D_f\setminus M_C$
17.	$\frac{x}{\alpha +x}$, $\alpha \in {ℝ}^{*}$	$ℝ\setminus \{-\alpha \}$	$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{{\alpha }^{n+1}}\cdot x^{n+1}$	$\alpha$	$(-\alpha ,\alpha )$	$D_f\setminus M_C$
18.	$\frac{x}{\alpha -x}$, $\alpha \in {ℝ}^{*}$	$ℝ\setminus \{-\alpha \}$	$\sum _{n\ge 0}\frac{1}{{\alpha }^{n+1}}\cdot x^{n+1}$	$\alpha$	$(-\alpha ,\alpha )$	$D_f\setminus M_C$
19.	$\frac{x}{1+\alpha x}$, $\alpha \in {ℝ}^{*}$	$ℝ\setminus \{-\frac{1}{\alpha }\}$	$\sum _{n\ge 0}(-\alpha {)}^n\cdot x^{n+1}$	$\frac{1}{\alpha }$	$(-\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\alpha })$	$D_f\setminus M_C$
20.	$\frac{x}{1-\alpha x}$, $\alpha \in {ℝ}^{*}$	$ℝ\setminus \{\frac{1}{\alpha }\}$	$\sum _{n\ge 0}{\alpha }^n\cdot x^{n+1}$	$\frac{1}{\alpha }$	$(-\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\alpha })$	$D_f\setminus M_C$
21.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
22.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
23.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
24.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$

Bibliografie

• Marcel Roșculeț, Analiză matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1984