Derivată direcțională

În analiza matematică, derivata direcțională permite evaluarea variației locale a unei funcții de mai multe variabile într-un punct dat și după o anumită direcție. Reprezintă o generalizare a noțiunii de derivată parțială și un caz particular al diferențialei Gâteaux.

Definiție

Cazul 2D

Definiție. Fie $f:D\subset {ℝ}^2\to ℝ$ o funcție reală, diferențiabilă de două variabile și vectorul unitar $𝐮=a𝐢+b𝐣.$ Dacă următoarea limită există și este finită:

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x+ta,y+tb)}{t}$

atunci aceasta se numește derivata după direcția vectorului unității $𝐮$ în punctul $(x,y)\in D$ și se notează cu $D_{𝐮}f:$

$D_{𝐮}f(x,y)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x+ta,y+tb)}{t}.$

Alte notații echivalente utilizate sunt $\mathrm{\nabla }f$ sau $\frac{df}{d𝐮}.$

Observație: Derivatele parțiale sunt cazuri particulare de derivare după o direcție dată. Astfel dacă de exemplu $𝐮=𝐢$ obținem derivata parțială după direcția axei $x:$

$D_{𝐢}f(x,y)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x+t,y)-f(x,y)}{t}=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y).$

Observație: Presupunând că există o dezvoltare în serie Taylor pentru $f(x+ta,y+tb)$ în jurul lui $(x,y)\in D$ și efectuând limita, se deduce că derivata după o direcție se calculează astfel:

$D_{𝐮}f(x,y)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x+ta,y+tb)-f(x,y)}{t}=a\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+b\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$

sau, utilizând notația: $f_{,x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).$

$D_{u}f(x,y)=a{f}_{,x}(x,y)+b{f}_{,y}(x,y).$

Dar gradientul unui câmp scalar într-un spațiu bidimensional este:

$gradf=\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial x}𝐢+\frac{\partial f}{\partial y}𝐣.$

Relația dintre derivata după direcția $𝐮$ și vectorul gradient este:

$D_{𝐮}f(x,y)=\mathrm{\nabla }f(x,y)\cdot 𝐮.$

Exemplu

Se consideră câmpul vectorial: $f(x,y)=4-x^2-\frac{1}{4}{y}^2$ și se cere determinarea lui $D_{𝐮}f$ în direcția $𝐮=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)𝐢+\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)𝐣$ în punctul $(1,2).$

Rezolvare. Derivatele parțiale sunt:

$f_{,x}=-2x,f_{,y}=-\frac{1}{2}y.$

Derivata după o direcție este:

$D_{𝐮}f(x,y)=f_x(x,y)\cos \theta +f_y(x,y)\sin \theta =(-2x)\cos \frac{\pi }{3}+(-\frac{1}{2}y)\sin \frac{\pi }{3},$

iar în punctul $(1,2):$

$D_{𝐮}f(1,2)=(-2)\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+(-1)\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=(-2)\left(\frac{1}{2}\right)+(-1)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}.$