Matrice cu toate elementele 1

În algebra liniară, o matrice cu toate elementele 1^[1] este o matrice în care fiecare element are valoarea 1.^[2] Exemple de astfel de matrici:

J_{2} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}); J_{3} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}); J_{2, 5} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}); J_{1, 2} = (\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix}) .

Unele surse numesc aceste matrici „matrice unitate”,^[3], dar acest termen este folosit de obicei pentru matrici de alt tip.

Un vector cu toate elementele 1 este o matrice cu toate elementele 1, având o singură linie sau o singură coloană. Ei nu trebuie confundați cu versorii.

Proprietăți

O matrice Format:Mvar de dimensiuni Format:Mvar cu toate elementele 1 are următoarele proprietăți:

Urma lui Format:Mvar este egală cu Format:Mvar,^[4] și determinantul este 0 pentru n ≥ 2, dar 1 pentru Format:Mvar = 1. (Se poate lua în considerare și cazul Format:Mvar = 0, caz în care este vorba de o matrice vidă, al cărei determinant este 1.)
Format:Ill-wd al Format:Mvar este $(x - n) x^{n - 1}$ .
Format:Ill-wd al Format:Mvar este $x^{2} - n x$ .
Rangul matricei Format:Mvar este 1, iar vectorii proprii sunt Format:Mvar (cu multiplicitatea 1) și 0 (cu multiplicitatea Format:Mvar − 1).^[4]^[5]
$J^{k} = n^{k - 1} J$ pentru $k = 1, 2, \dots .$ ^[6]
Format:Mvar este elementul neutru pentru produsul Hadamard.^[7]

Dacă Format:Mvar este o matrice ale cărei elemente sunt numere reale, acestea au și următoarele proprietăți:

Matricea cu toate elementele 1 apare des în domeniul matematic al combinatoricii, în special prin aplicarea metodelor algebrice la teoria grafurilor. De exemplu, dacă A este matricea de adiacență a unui graf neorientat Format:Mvar cu Format:Mvar noduri, iar Format:Mvar este matricea cu toate elementele 1 de aceeași dimensiune, atunci Format:Mvar este un graf regulat dacă și numai dacă Format:Mvar = Format:Mvar.^[8] Un alt exemplu este că matricea apare în unele demonstrații algebrice ale formulei lui Cayley, care oferă numărul Format:Ill-wd ai unui graf complet, folosind Format:Ill-wd.