Formă pătratică

Forma pătratică este o expresie algebrică polinom omogen de gradul doi într-un număr de variabile. De exemplu pentru două variabile

$4x^2+2xy-3y^2$

este o formă pătratică în variabilele $x$ și $y$. Pentru trei variabile x, y, z forma pătratică asociată e

$a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+dxy+exz+fyz$

Formele pătratice apar în diverse domenii ale matematicii ca geometria și topologia diferențială, teoria numerelor etc.

În cazul general, o formă pătratică este un polinom omogen de gradul al doilea cu variabilele $x_1,x_2,\cdots ,x_n:$

$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=a_{11}\cdot x_1^2+a_{22}\cdot x_2^2+\cdots +a_{nn}\cdot x_n^2+2a_{12}{x}_1\cdot x_2+\cdots +2a_{nn-1}{x}_{n-1}\cdot x_n.$

Numărul termenilor micști in care apar produse de câte două variabile e egal cu numărul combinărilor de n luate câte 2.

Matricea simetrică ${\left(\begin{array}{c}{a}_{ij}\end{array}\right)}_n$ se numește matricea atașată formei pătratice $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n).$

Formele pătratice au numeroase aplicații în analiză matematică, geometrie și mecanică. Studiul formelor pătratice binare (cu două nedeterminate) a fost introdus de Lagrange în 1767, rezultate importante se datorează lui Gauss (1801), iar Dirichlet în 1842 a dezvoltat formele pătratice binare.

O formă pătratică cu $a_{ij}=0,$ pentru $i\ne j,$ se numește formă canonică. Matricea atașată unei forme canonice este o matrice diagonală.

Vezi și

• Formă biliniară
• Geometrie algebrică