Algebră comutativă

Algebra comutativă, cunoscută inițial ca Format:Ill-wd, este ramura algebrei care studiază inelele comutative, idealele lor și Format:Ill-wd peste astfel de inele. Atât geometria algebrică, cât și Format:Ill-wd se bazează pe algebra comutativă. Printre exemplele importante de inele comutative se numără Format:Ill-wd, inelele de întregi algebrici (inclusiv inelul de numere întregi $ℤ$ ) și Format:Ill-wd.^[1]

Algebra comutativă este principalul instrument tehnic în studiul local al Format:Ill-wd.

Studiul inelelor care nu sunt neapărat comutative este cunoscut ca Format:Ill-wd; aceasta include Format:Ill-wd, teoria reprezentării și teoria Format:Ill-wd.

Prezentare generală

Algebra comutativă este în esență studiul inelelor care apar în teoria algebrică a numerelor și geometria algebrică.

În teoria algebrică a numerelor, inelele de întregi algebrici sunt Format:Ill-wd, care constituie, prin urmare, o clasă importantă de inele comutative. Considerațiile legate de Format:Ill-wd au condus la noțiunea de Format:Ill-wd. Restricționarea extinderilor algebrice de corpuri la subinele a condus la noțiunile de Format:Ill-wd și domenii întreg închise precum și la noțiunea de Format:Ill-wd a unei extinderi de inele de valuare.

Noțiunea de Format:Ill-wd (în particular localizarea cu un ideal prim, localizarea care constă în inversarea unui singur element și Format:Ill-wd) reprezintă una dintre principalele diferențe dintre algebra comutativă și teoria inelelor necomutative. Ea conduce la o clasă importantă de inele comutative, Format:Ill-wd, care au un singur ideal maximal. Mulțimea idealelor prime ale unui inel comutativ este înzestrată în mod natural cu o topologie, numită Format:Ill-wd. Toate aceste noțiuni sunt utilizate pe scară largă în geometria algebrică și sunt instrumentele tehnice de bază pentru definirea teoriei schemelor, o generalizare a geometriei algebrice introdusă de Alexandre Grothendieck.

Multe alte noțiuni de algebră comutativă sunt omoloage ale noțiunilor geometrice care apar în geometria algebrică. Acesta este cazul Format:Ill-wd, Format:Ill-wd, Format:Ill-wd, Format:Ill-wd, Format:Ill-wd și a multor altor noțiuni.

Istorie

Subiectul, cunoscut inițial ca „teoria idealelor”, a început cu lucrarea lui Richard Dedekind despre ideale, ea însăși bazată pe lucrările anterioare ale lui Ernst Kummer și Leopold Kronecker. Mai târziu, David Hilbert a introdus termenul de inel pentru a generaliza termenul anterior de inel de numere. Hilbert a introdus o abordare mai abstractă pentru a înlocui metodele mai concrete și computaționale bazate pe analiza complexă și Format:Ill-wd. La rândul său, Hilbert a avut o mare influență asupra lui Emmy Noether, care a reformulat multe rezultate anterioare folosind o condiție de lanț ascendent, cunoscută acum drept condiția noetheriană. O altă etapă importantă a fost munca studentului lui Hilbert, Emanuel Lasker, care a introdus idealele primare și a demonstrat prima versiune a Format:Ill-wd.

Principala personalitate responsabilă pentru nașterea algebrei comutative ca disciplină dezvoltată a fost Wolfgang Krull, care a introdus noțiunile fundamentale de localizare și Format:Ill-wd a unui inel, precum și cea de inele locale regulate. El a introdus conceptul de dimensiune Krull a unui inel, mai întâi pentru Format:Ill-wd, înainte de a-și extinde teoria pentru a acoperi inelele de valuare și Format:Ill-wd generale. Până în prezent, Format:Ill-wd este considerată pe scară largă cea mai importantă teoremă fundamentală din algebra comutativă. Aceste rezultate au deschis calea pentru introducerea algebrei comutative în geometria algebrică, fapt care avea să revoluționeze ultimul subiect.

O mare parte din dezvoltarea modernă a algebrei comutative pune accent pe module. Atât idealele unui inel R, cât și R-algebrele sunt cazuri particulare de R-module, astfel că teoria modulelor cuprinde atât teoria idealelor, cât și teoria extinderilor de inele. Deși era deja incipientă în munca lui Leopold Kronecker, abordarea modernă a algebrei comutative folosind teoria modulelor este de obicei atribuită lui Krull și Emmy Noether.

Principalele instrumente și rezultate

Inele noetheriene

În matematică, mai precis în zona algebrei moderne cunoscută sub numele de „teoria inelelor”, un Format:Ill-wd, numit astfel după Emmy Noether, este un inel în care fiecare mulțime nevidă de ideale are un element maximal. Echivalent, un inel este noetherian dacă satisface condiția lanțului ascendent pe ideale; adică, dat fiind un lanț:

I_{1} \subseteq \dots I_{k - 1} \subseteq I_{k} \subseteq I_{k + 1} \subseteq \dots

există un n astfel încât:

I_{n} = I_{n + 1} = \dots

Pentru ca un inel comutativ să fie noetherian este suficient ca fiecare ideal prim al inelului să fie finit generat. (Rezultatul se datorează lui I.S. Cohen.)

Noțiunea de inel noetherian este de o importanță fundamentală atât în teoria inelelor comutative cât și necomutative, datorită rolului pe care îl joacă în simplificarea structurii de ideale a unui inel. De exemplu, inelul numerelor întregi $(ℤ, +, \times)$ și inelele de polinoame peste un corp comutativ sunt inele noetheriene și, în consecință, sunt valabile pentru ele teoreme precum teorema Lasker–Noether, Format:Ill-wd și Format:Ill-wd. În plus, dacă un inel este noetherian, atunci acesta satisface condiția lanțului descendent pe ideale prime. Această proprietate sugerează o teorie profundă a dimensiunii pentru inelele noetheriene, începând cu noțiunea de dimensiune Krull.

Teorema bazei a lui Hilbert

Teoremă — Dacă R este un inel noetherian la stânga (respectiv la dreapta), atunci inelul de polinoame R[X] este de asemenea un inel noetherian la stânga (respectiv la dreapta).

Format:Ill-wd are câteva corolare imediate:

Prin inducție se vede că $R [X_{0}, \dots, X_{n - 1}]$ va fi de asemenea noetherian.
Din moment ce orice Format:Ill-wd peste $R^{n}$ (adică mulțimea zerourilor unei colecții de polinoame) poate fi scrisă ca mulțimea zerourilor unui ideal $𝔞 \subset R [X_{0}, \dots, X_{n - 1}]$ și, mai apoi, ca mulțimea zerourilor generatorilor săi, rezultă că fiecare varietate afină este mulțimea zerourilor unui număr finit de polinoame - adică intersecția unui număr finit de hipersuprafețe.
Dacă $A$ este o $R$ -algebră finit generată, atunci știm că $A ≃ R [X_{0}, \dots, X_{n - 1}] / 𝔞$ , unde $𝔞$ este un ideal. Teorema bazei implică faptul că $𝔞$ trebuie să fie finit generat, să zicem $𝔞 = (p_{0}, \dots, p_{N - 1})$ , adică $A$ are o prezentare finită.

Descompunere primară

Un ideal Q al unui inel se numește primar dacă Q este propriu și ori de câte ori xy ∈ Q, avem x ∈ Q sau yⁿ ∈ Q pentru un număr întreg pozitiv n. În Z, idealele primare sunt exact idealele de forma (p^e) unde p este prim și e este un întreg pozitiv. Astfel, o Format:Ill-wd a lui (n) corespunde reprezentării lui (n) ca intersecție finită de ideale primare.

Teorema Lasker–Noether, prezentată mai jos, poate fi văzută ca o anumită generalizare a teoremei fundamentale a aritmeticii: Format:Math theorem Pentru orice descompunere primară a lui I, mulțimea tuturor radicalilor, adică mulțimea {Rad(Q₁), ... , Rad(Q_t)}, rămâne aceeași, conform teoremei Lasker–Noether. De fapt, se poate demonstra că (pentru un inel noetherian) mulțimea este exact asociatorul modulului R/I; adică mulțimea tuturor anulatorilor lui R/I (privit ca un modul peste R) care sunt ideale prime.

Localizare

Format:Ill-wd este o modalitate formală de a introduce „numitori” într-un inel sau într-un modul. Adică, introduce un nou inel/modul dintr-unul existent, care este format din fracții

\frac{m}{s}

,

unde numitorii s variază într-o submulțime dată S a lui R. Exemplul arhetipal este construcția inelului Q de numere raționale din inelul Z de numere întregi.

Completare

O Format:Ill-wd este oricare dintre diverșii functori înrudiți pe inele și module care produc inele și module topologice complete. Completarea este asemănătoare cu localizarea și împreună sunt printre cele mai de bază instrumente în studiul inelelor comutative. Inele comutative complete au o structură mai simplă decât cele generale și Format:Ill-wd este aplicabilă în cazul lor.

Topologia Zariski pe ideale prime

Format:Ill-wd definește o topologie pe Format:Ill-wd (mulțimea idealelor prime).^[2] În această formulare, mulțimile închise în topologia Zariski sunt alese să fie mulțimile

V (I) = {P \in Spec (A) ∣ I \subseteq P}

unde A este un inel comutativ fixat și I este un ideal. Aceasta este definită în analogie cu topologia clasică Zariski, unde mulțimile închise dintr-un spațiu afin sunt cele definite prin ecuații polinomiale. Pentru a vedea legătura cu varianta clasică, se observă că pentru orice mulțime S de polinoame (peste un corp algebric închis), rezultă din Format:Ill-wd că punctele lui V(S) (în sensul vechi) sunt exact tuplurile (a₁, ..., a_n) cu proprietatea că idealul (x₁ - a₁, ..., x_n - a_n) îl conține pe S; în plus, acestea sunt ideale maximale și din varianta slabă a teoremei zerourilor a lui Hilbert, un ideal al oricărui inel de coordonate afine este maximal dacă și numai dacă este de această formă. Astfel, V(S) este „la fel ca” idealele maximale care conțin S. Inovația lui Grothendieck în definirea mulțimii Spec a fost înlocuirea idealelor maximale cu toate idealele prime; în această formulare este firesc să se generalizeze această observație la definiția unei mulțimi închise în spectrul unui inel.

Exemple

Exemplul fundamental în algebra comutativă este inelul numerelor întregi $ℤ$ . Existența numerelor prime și teorema de factorizare unică au pus bazele unor concepte precum inelele noetheriene și descompunerea primară.

Alte exemple importante sunt:

Inelele de polinoame $R [x_{1}, . . ., x_{n}]$
Numerele întregi p-adice
Inelele de întregi algebrici.

Legături cu geometria algebrică

Algebra comutativă (sub formă de inele de polinoame și inelele lor factor, folosite la definirea Format:Ill-wd) a făcut întotdeauna parte din geometria algebrică. Totuși, la sfârșitul anilor 1950, varietățile algebrice au fost incluse în conceptul de Format:Ill-wd al lui Alexandre Grothendieck. Obiectele lor locale sunt scheme afine sau spectre prime, care sunt spații local inelate, care formează o categorie antiechivalentă (duală) cu categoria inelelor unitare comutative, extinzând dualitatea dintre categoria varietăților algebrice afine peste un corp comutativ k, și categoria k-algebrelor reduse finit generate. Lipirea se face de-a lungul topologiei Zariski; se poate lipi în categoria spațiilor local inelate, dar și folosind scufundarea Yoneda, în categoria mai abstractă a prefasciculelor de mulțimi peste categoria schemelor afine. Topologia Zariski în sensul teoriei mulțimilor este apoi înlocuită de o topologie Zariski în sensul Format:Ill-wd. Grothendieck a introdus topologiile Grothendieck având în vedere exemple mai exotice, dar mai fine din punct de vedere geometric și mai sensibile decât topologia Zariski, și anume Format:Ill-wd și cele două topologii Grothendieck plate: fppf și fpqc. În prezent, câteva alte exemple au devenit proeminente, printre care Format:Ill-wd. Fasciculele pot fi, în plus, generalizate la stive în sensul lui Grothendieck, de obicei cu unele condiții suplimentare de reprezentare, ducând la stive Artin și, chiar mai fine, stive Deligne–Mumford, ambele numite adesea stive algebrice.

Note

↑ Atiyah și Macdonald, 1969, Capitolul 1
↑ Format:Citat carte

Bibliografie

[1] Atiyah și Macdonald, 1969, Capitolul 1

[2] Format:Citat carte

[1]

[2]

Algebră comutativă

Cuprins

Prezentare generală

Istorie

Principalele instrumente și rezultate

Inele noetheriene

Teorema bazei a lui Hilbert

Descompunere primară

Localizare

Completare

Topologia Zariski pe ideale prime

Exemple

Legături cu geometria algebrică

Note

Bibliografie

Meniu de navigare

Algebră comutativă

Prezentare generală

Istorie

Principalele instrumente și rezultate

Inele noetheriene

Teorema bazei a lui Hilbert

Descompunere primară

Localizare

Completare

Topologia Zariski pe ideale prime

Exemple

Legături cu geometria algebrică

Note

Bibliografie

Meniu de navigare

Căutare