Extindere algebrică

De la testwiki
Sari la navigare Sari la căutare

În algebră abstractă, o extindere de corp L/K se numește algebrică dacă fiecare element din L este algebric peste K, adică dacă fiecare element din L este o rădăcină a unor polinom nenul cu coeficienți în K.[1][2] Extinderile de corp care nu sunt algebrice, adică care conțin elemente transcendente se numesc transcendente.[3][4]

De exemplu, extinderea de corp R/Q, care este corpul numerelor reale ca extindere a corpului numerelor raționale, este transcendent,[5] deoarece corpul extinderilor C/R[6] și Q(Format:Radic)/Q[7] este algebric, unde C este corpul numerelor complexe.

Toate extinderile transcendente sunt de grad infinit. Acest lucru implică faptul că toate extinderile finite sunt algebrice.[8] Inversa nu este adevărată: există extinderi infinite care sunt algebrice.[9] De exemplu corpul numerelor algebrice este o extindere algebrică infinită a numerelor raționale.[10]

Fie E o extindere a corpului K, iar a ∈ E. Dacă a este algebric peste K, atunci K(a), mulțimea tuturor polinoamelor în a cu coeficienți în K, este nu numai un inel, ci un corp: K(a) este o extindere algebrică a lui K care are un grad finit peste K.[11] Inversa nu este adevărată. Q[[[:Format:Mvar]]] și Q[e] sunt corpuri, dar Format:Mvar și Format:Mvar sunt transcendente peste Q.[12]

Toate corpurile algebric închise F nu au extinderi algebrice proprii, adică nu au extinderi algebrice E cu F < E.[13] Un exemplu este corpul numerelor complexe. Fiecare corp are o extindere algebrică care este închisă algebric (numită închidere algebrică), dar pentru a demonstra acest lucru în general este nevoie de o formă a axiomei alegerii.[14]

O extindere L/K este algebrică dacă și numai dacă orice K-subalgebră a L este un corp.

Properietăți

Clasa extinderilor algebrice formează o clasă distinctă de extinderi de corp, extinderi care au următoarele trei proprietăți:[15]

  1. Dacă E este o extindere algebrică a lui F iar F este o extindere algebrică a lui K, atunci E este o extindere algebrică a lui K.
  2. Dacă E și F sunt extinderi algebrice ale lui K într-un supracorp comun C, atunci Format:Ill-wd EF este o extindere algebrică a lui K.
  3. Dacă E este o extindere algebrică a lui F iar E>K>F atunci E este o extindere algebrică a lui K.

Aceste rezultate pot fi generalizate folosind inducția transfinită:

Format:Ordered list

Acest fapt, împreună cu lema lui Zorn (aplicate la o mulțime parțial ordonată corespunzătoare), stabilește existența închiderilor algebrice.

Generalizări

Format:Ill-wd generalizează noțiunea de extindere algebrică la teorii arbitrare: o încorporare a M în N se numește extindere algebrică dacă pentru fiecare x din N există o Format:Ill-wd p cu parametri în M, astfel încât p(x) este adevărată iar mulțimea

{y∈N∣p(y)}

este finită. Se pare că aplicarea acestei definiții la teoria corpurilor oferă definiția obișnuită a extinderii algebrice. Format:Ill-wd al N peste M poate fi din nou definit ca grup de automorfisme, și reiese că majoritatea teoriei grupurilor Galois poate fi dezvoltată pentru cazul general.

Note

Format:Listănote

Vezi și

Bibliografie

Format:Portal

  1. ↑ Format:En icon Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.
  2. ↑ Format:En icon Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453.
  3. ↑ Format:En icon Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.
  4. ↑ Format:En icon Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
  5. ↑ Format:En icon Malik, Mordeson, Sen (1997), Example 21.1.17, p. 451.
  6. ↑ Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
  7. ↑ Format:En icon Fraleigh (2014), Example 31.8, p. 285.
  8. ↑ Format:En icon See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.
  9. ↑ Format:En icon Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288.
  10. ↑ Format:En icon Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.
  11. ↑ Format:En icon Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280.
  12. ↑ Format:En icon Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.
  13. ↑ Format:En icon Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287.
  14. ↑ Format:En icon Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.
  15. ↑ Format:En icon Lang (2002) p.228
Adus de la „https://ro.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Extindere_algebrică&oldid=2513”