Suprafață de revoluție

O porțiune a curbei Format:Math rotită în jurul axei Format:Mvar

O suprafață de revoluție este o suprafață în spațiul euclidian creată prin rotația unei curbe (generatoarea) în jurul unei axe de rotație efectuând o Format:Ill-wd (în mod normal nu intersectează generatoarea, cu excepția punctelor sale finale). Volumul delimitat de suprafața creată prin această revoluție este cel al Format:Ill-wd generat astfel.

Exemple de suprafețe de revoluție generate de o dreaptă sunt cilindrul și suprafața conică, în funcție de faptul că dreapta este sau nu paralelă cu axa. Un cerc care este rotit în jurul oricărui diametru al său generează o sferă în care este un cerc mare, iar dacă cercul este rotit în jurul unei axe care nu intersectează interiorul unui cerc, atunci generează un tor care nu se autointersectează (un tor inelar).

Proprietăți

Secțiunile suprafeței de revoluție realizate de plane care conțin axa se numesc „secțiuni meridiane”. Orice secțiune meridiană poate fi considerată generatoare în planul determinat de aceasta și de axă.

Secțiunile suprafeței de revoluție realizate de plane perpendiculare pe axă sunt cercuri.

Unele cazuri particulare de hiperboloizi (cu una sau două pânze) și paraboloizi eliptici sunt suprafețe de revoluție. Acestea pot fi identificate ca acele cuadrice ale căror secțiuni transversale perpendiculare pe axă sunt cercuri.

Formule pentru arie

Dacă curba este descrisă de funcțiile parametrice Format:Math, Format:Math, cu Format:Mvar care se întinde pe un anumit interval Format:Math, iar axa de revoluție este axa Format:Mvar, atunci Format:Ill-wd Format:Mvar este dată de integrala

$A_y=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x(t)\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt,$

cu condiția ca Format:Math să nu fie niciodată negativ între punctele dela capete Format:Mvar și Format:Mvar. Această formulă este echivalentul de calcul al Format:Ill-wd. Cantitatea

$\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}$

provine din teorema lui Pitagora și reprezintă un mic segment al arcului curbei, ca în formula Format:Ill-wd. Mărimea Format:Math este centroidul acestui segment mic, așa cum este cerut de teorema Guldin–Pappus.

La fel, când axa de rotație este axa Format:Mvar și cu condiția ca Format:Math să nu fie niciodată negativă, aria este dată de

$A_x=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}y(t)\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt.$

Dacă curba continuă este descrisă de funcția Format:Math, Format:Math, atunci integrala devine

$A_x=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}y\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$

pentru revoluția în jurul axei Format:Mvar, respectiv

$A_y=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx$

pentru revoluția în jurul axei y (cu Format:Math). Acestea provin din formula de mai sus.

Asta se poate obține și prin integrare multiplă. Dacă curba plană este definită prin $⟨x(t),y(t)⟩$ atunci suprafața corespunzătoare de revoluție în jurul axei Format:Mvar are coordonatele carteziene date de $𝐫(t,\theta )=⟨y(t)\cos (\theta ),y(t)\sin (\theta ),x(t)⟩$ cu $0\le \theta \le 2\pi$. Aria suprafeței este dată de integrala de suprafață

$A_x=\underset{S}{\iint }dS=\underset{[a,b]\times [0,2\pi ]}{\iint }\Vert \frac{\partial 𝐫}{\partial t}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial \theta }\Vert d\theta dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\Vert \frac{\partial 𝐫}{\partial t}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial \theta }\Vert d\theta dt.$

Calcularea derivatelor parțiale duce la

$\frac{\partial 𝐫}{\partial t}=⟨\frac{dy}{dt}\cos (\theta ),\frac{dy}{dt}\sin (\theta ),\frac{dx}{dt}⟩,$

$\frac{\partial 𝐫}{\partial \theta }=⟨-y\sin (\theta ),y\cos (\theta ),0⟩$

iar calcularea produsului vectorial duce la

$\frac{\partial 𝐫}{\partial t}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial \theta }=⟨y\cos (\theta )\frac{dx}{dt},y\sin (\theta )\frac{dx}{dt},y\frac{dy}{dt}⟩=y⟨\cos (\theta )\frac{dx}{dt},\sin (\theta )\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}⟩$

unde s-a folosit identitatea trigonometrică ${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1.$ Cu acest produs vectorial se obține

$\begin{array}{cc}{A}_x& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\Vert \frac{\partial 𝐫}{\partial t}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial \theta }\Vert d\theta dt\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\Vert y⟨y\cos (\theta )\frac{dx}{dt},y\sin (\theta )\frac{dx}{dt},y\frac{dy}{dt}⟩\Vert d\theta dt\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}y\sqrt{{\cos }^2(\theta ){\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\sin }^2(\theta ){\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}d\theta dt\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}y\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}d\theta dt\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}2\pi y\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt\end{array}$

unde a fost folosită din nou aceeași identitate trigonometrică. Derivarea pentru o suprafață obținută prin rotire în jurul axei Format:Mvar este similară.

De exemplu, suprafața sferică cu raza unitate este generată de curba Format:Math, Format:Math, când Format:Mvar variază peste Format:Math. Aria sa este deci

$\begin{array}{cc}A& =2\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (t)\sqrt{(\cos (t){)}^2+(\sin (t){)}^2}dt\\ & =2\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (t)dt\\ & =4\pi .\end{array}$

Pentru cazul curbei sferice cu raza Format:Mvar, Format:Math rotită în jurul axei Format:Mvar

$\begin{array}{cc}A& =2\pi \underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx\\ & =2\pi r\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{\frac{1}{r^2-x^2}}dx\\ & =2\pi r\underset{-r}{\overset{r}{\int }}dx\\ & =4\pi r^2\end{array}$

O suprafață de revoluție minimală este suprafața de revoluție generată de curba dintre două puncte date, care minimizează aria suprafeței. O problemă de bază în calculului variațional este găsirea curbei dintre două puncte care produce această suprafață de revoluție minimală.

Există doar două suprafețe de revoluție minimale (suprafețe de revoluție care sunt, de asemenea, suprafețe minime): planul și catenoida.

Expresile coordonatelor

O suprafață de revoluție dată prin rotirea unei curbe descrise de $y=f(x)$ în jurul axei Format:Mvar poate fi cel mai simplu descrisă de $y^2+z^2=f(x{)}^2$. Aceasta conduce la parametrizarea în funcție de $x$ și $\theta$ ca $(x,f(x)\cos (\theta ),f(x)\sin (\theta ))$. Dacă curba este rotită în jurul axei Format:Mvar, atunci curba este descrisă de $y=f(\sqrt{x^2+z^2})$, rezultând expresia $(x\cos (\theta ),f(x),x\sin (\theta ))$ cu parametrii $x$ și $\theta$.

Dacă Format:Mvar și Format:Mvar sunt definiți în funcție de parametrul $t$, atunci se obține o parametrizare în funcție de $t$ și $\theta$. Dacă $x$ și $y$ sunt funcții ale lui $t$, atunci suprafața de revoluție obținută prin rotirea curbei în jurul axei Format:Mvar este descrisă de $(x(t),y(t)\cos (\theta ),y(t)\sin (\theta ))$, iar suprafața de revoluție obținută prin rotirea curbei în jurul axei Format:Mvar este descrisă de $(x(t)\cos (\theta ),y(t),x(t)\sin (\theta )).$

Geodezice

Meridianele sunt întotdeauna geodezice pe o suprafață de revoluție. Alte geodezice sunt descrise de relația lui Clairaut.

Toroizi

Un toroid generat de un pătrat

O suprafață de revoluție cu o gaură, unde axa nu intersectează suprafața, se numește toroid. De exemplu, atunci când un dreptunghi este rotit în jurul unei axe paralele cu una dintre laturile sale, atunci se produce un inel cu secțiune pătrată goală. Dacă figura rotită este un cerc, atunci obiectul se numește tor.

Vezi și

• Lămâie (geometrie)
• Sferoid
• Integrală de suprafață

Legături externe

• Format:En icon Format:MathWorld

• Format:Fr icon Format:Cite web