Lămâie (geometrie)

În geometrie o lămâie este o formă geometrică care este construită prin suprafața de revoluție a unui arc de cerc de unghi mai mic decât jumătate dintr-un cerc complet, rotit în jurul unei axe care trece prin punctele de capăt ale arcului. Suprafața de revoluție a arcului complementar al aceluiași cerc, prin aceeași axă, se numește măr.

Jumătate dintr-un tor care se autointersectează

Mărul și lămâia formează împreună un tor autointersectat. Lămâia formează o mulțime convexă, în timp ce mărul din jur este neconvex.

Minge de fotbal american

Mingea din fotbalul american are o formă asemănătoare unei lămâi geometrice.

Arie și volum

Lămâia este generată prin rotirea unui arc de rază $R$ și jumătate de unghi ${\varphi }_m,$ mai mic decât $\pi /2,$ în jurul coardei sale. $\varphi$ este latitudinea, așa cum este folosită în geofizică. Aria sa este dată de

$A=2\pi R^2\underset{-{\varphi }_m}{\overset{{\varphi }_m}{\int }}(\cos \varphi -\cos {\varphi }_m)d\varphi$

Volumul său este dat de

$V=\pi R^3\underset{-{\varphi }_m}{\overset{{\varphi }_m}{\int }}(\cos \varphi -\cos {\varphi }_m{)}^2\cos \varphi d\varphi$

Aceste integrale pot fi calculate analitic, obținându-se

$A=4\pi R^2(\sin {\varphi }_m-{\varphi }_m\cos {\varphi }_m)$

$V=\frac{4}{3}\pi R^3[{\sin }^3{\varphi }_m-\frac{3}{4}\cos {\varphi }_m(2{\varphi }_m-\sin 2{\varphi }_m)]$

Mărul este generat prin rotația unui arc a cărei jumătăți de unghi, ${\varphi }_m,$ este mai mare decât $\pi /2$ în jurul coardei sale. Ecuațiile de mai sus sunt valabile atât pentru lămâie, cât și pentru măr.

Legături externe

• Format:En icon Format:MathWorld

• Format:En icon Football shaped (spindle type) surface of positive constant curvature in the University of Groningen model collection