Calcul variațional

Calculul variațional este un capitol al analizei matematice care are ca obiect studiul problemelor de determinare a extremelor unei funcționale.

Printre problemele care au generat apariția calculului variațional se numără problema izoperimetrelor și problema brahistocronei (Jean Bernoulli, 1696).

Denumirea și fundamentarea calculului variațional i se datorează lui Euler (1744). Lagrange (1760) a introdus noțiunea de variație și a dat o metodă de determinare a extremelor unei funcționale.

Calculul variațional are aplicații în mecanica sistemelor, hidrodinamică, teoria elasticității, optică geometrică.

Istoric

Din punct de vedere istoric, prima problema de calcul variațional este așa numita problemă a lui Dido. Conform legendei, Didona, al cărui soț fusese asasinat, este nevoită să fugă cu averea acestuia. Debarcând pe țărmul african, localnicii îi oferă suprafața pe care poate să o cuprindă cu o piele de taur. Didona taie pielea în fâșii înguste pe care le leagă cap la cap și înconjoară cu ele o bucată de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, căreia îi devine regină.

Încă din antichitate, latura matematică a legendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus firul alcătuit din fâșiile înguste pentru ca el să înconjoare o porțiune de arie maximă?

Formulare matematică

Problema are mai multe variante. Una din acestea ar fi următoarea: să presupunem că axa x'Ox reprezintă țărmul mării și că punctele $A(a,0),B(b,0)$ reprezintă capetele firului, graficul funcției $y=f(x),$ definită și derivabilă pe [a, b], este firul. Aria limitată de fir și țărm este:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}y(x)dx,$

în timp de lungimea firului este:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx.$

Atunci problema lui Dido revine la determinarea funcției $y=y(x),$ definite și derivabile pe [a, b], care satisface condițiile:

$y(a)=0,y(b)=0,L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$

astfel încât integrala:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}y(x)dx$

să aibă valoarea maximă.

Din motive evidente, o asemenea problemă se numește problemă izoperimetrică. Încă din antichitate se cunoștea că formă căutată a firului este cea a unui arc de cerc, ceea ce se poate demonstra.

Se poate raționa și altfel. Fie $\stackrel{⌢}{AB}$ arcul graficului. În relația:

$S=\underset{\stackrel{⌢}{AB}}{\int }y(x)dx$

se consideră pe x, y ca funcții de absisa curbilinie s și integrăm prin părți:

$S=yx{|}_A^B-\underset{\stackrel{⌢}{AB}}{\int }xdy=-\underset{0}{\overset{L}{\int }}x(s)\sqrt{1-x^{\prime }(s{)}^2}ds.$

Problema revine la a determina funcția $x=x(s)$ definită pe intervalul $[0,L]$ cu proprietatea că $x(0)=a,x(L)=b$ și că integrala:

$S=\underset{0}{\overset{L}{\int }}x(s)\sqrt{1-x^{\prime }(s{)}^2}ds$

are valoare minimă.

O altă variantă a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem că firul ar reprezenta o curbă netedă închisă cu ecuațiile parametrice:

$\{\begin{array}{cc}x=x(t)& \\ & t\in [t_1,t_2],\\ y=y(t)& \end{array}$

funcțiile $x(t),y(t)$ fiind deci derivabile pe porțiuni pe $[t_1,t_2].$ Atunci lungimea firului este:

$L=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt,$

iar aria limitată de fir este:

$S=\frac{1}{2}\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}[y(t)x^{\prime }(t)-x(t)y^{\prime }(t)]dt.$

Problema revine deci la determinarea celor două funcții $x(t),y(t)$ definite și derivabile pe porțiuni pe intervalul $[t_1,t_2]$ astfel încât să aibă relația:

$L=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt$

și ca integrala:

$S=\frac{1}{2}\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}[y(t)x^{\prime }(t)-x(t)y^{\prime }(t)]dt.$

să fie maximă. Și aceasta este tot o problemă izoperimetrică și curba care dă soluția este un cerc.