Integrală de suprafață

Format:Imagine multiplă În analiza matematică, în special în Format:Ill-wd, o integrală de suprafață este o generalizare a integralelor multiple la integrarea pe suprafețe. Prin analogie, poate fi considerată o integrală dublă a integralei curbilinii. Pe o suprafață se poate integra un câmp scalar (adică o funcție de poziție care returnează ca valoare un scalar), sau un câmp vectorial (adică o funcție care returnează ca valoare un vector). Dacă o regiune Format:Math nu este plată, atunci se spune că este o suprafață, așa cum se vede în imagine.

Integralele de suprafață au aplicații în fizică, în special cu teoriile electrodinamicii.

Integralele de suprafață ale câmpurilor scalare

Fie Format:Mvar un câmp scalar, vectorial sau tensorial definit pe o suprafață Format:Mvar. Pentru a găsi o formulă explicită pentru integrala de suprafață a lui Format:Mvar peste Format:Mvar, trebuie să se parameterize Format:Mvar prin definirea unui sistem de coordonate curbilinii pe Format:Mvar, ca latitudinea și longitudinea pe o sferă. Fie o astfel de parametrizare Format:Math, unde Format:Math variază într-o anumită regiune Format:Mvar în plan. Atunci integrala de suprafață este dată de

$\underset{S}{\iint }f\mathrm{d}S=\underset{T}{\iint }f(𝐫(s,t))\Vert \frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t}\Vert \mathrm{d}s\mathrm{d}t$

unde expresia dintre barele din partea dreaptă este valoarea produsului vectorial al derivatelor parțiale ale lui Format:Math și este cunoscută ca suprafața elementului infinitezimal. Integrala de suprafață poate fi exprimată și în forma echivalentă

$\underset{S}{\iint }f\mathrm{d}S=\underset{T}{\iint }f(𝐫(s,t))\sqrt{g}\mathrm{d}s\mathrm{d}t$

unde Format:Mvar este determinantul primei forme fundamentale a parametrizării suprafeței r(s, t).

De exemplu, dacă se cere aria suprafeței graficului unei funcții scalare, de exemplu Format:Math, avem

$A=\underset{S}{\iint }\mathrm{d}S=\underset{T}{\iint }\Vert \frac{\partial 𝐫}{\partial x}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial y}\Vert \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

unde Format:Math.

Deoarece $\frac{\partial 𝐫}{\partial x}=(1,0,f_x(x,y))$   și   $\frac{\partial 𝐫}{\partial y}=(0,1,f_y(x,y))$,

$\begin{array}{cc}A& =\underset{T}{\iint }\Vert (1,0,\frac{\partial f}{\partial x})\times (0,1,\frac{\partial f}{\partial y})\Vert \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\underset{T}{\iint }\Vert (-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1)\Vert \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\underset{T}{\iint }\sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2+1}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$

care este formula standard a ariei suprafeței descrise astfel. Se poate recunoaște vectorul din penultima linie de mai sus ca vectorul normal la suprafață.

Datorită prezenței produsului vectorial, formulele de mai sus funcționează numai pentru suprafețe din spațiul tridimensional.

Aceasta poate fi văzută ca integrarea unei forme de volum riemanniene pe suprafața parametrizată, unde Format:Ill-wd este dat de forma diferențială fundamentală de speța întâi a suprafeței.

Integralele de suprafață ale câmpurilor vectoriale

O suprafață curbă $S$ cu un câmp vectorial $𝐅$ care trece prin ea. Săgețile roșii (vectorii) reprezintă mărimea și direcția câmpului în diferite puncte de pe suprafață.

Suprafață divizată în elemente mici $dS=dudv$ printr-o parametrizare a suprafeței $[u(𝐱),v(𝐱)]$

Fluxul prin fiecare element este egal cu componenta normală (perpendiculară) a câmpului $F_n(𝐱)=F(𝐱)\cos \theta$ din fiecare element $𝐱$ înmulțită cu aria $dS$. Componenta normală este egală cu produsul scalar al lui $𝐅(𝐱)$ cu versorul normal $𝐧(𝐱)$ (săgeata albastră)

Fluxul total prin suprafață este obținut prin adunarea $𝐅\cdot 𝐧dS$ pentru fiecare element. La limită, pe măsură ce elementele devin infinitezimal de mici, aceasta este integrala de suprafață $\underset{S}{\int }𝐅\mathbf{\cdot }𝐧dS$

Fie un câmp vectorial Format:Math pe o suprafață Format:Mvar, adică pentru fiecare Format:Math din Format:Mvar, v(r) este un vector.

Integrala lui v pe Format:Mvar a fost definită în secțiunea anterioară. Presupunând acum că se dorește să se integreze doar componenta normală a câmpului vectorial peste suprafață, rezultatul fiind un scalar, numit de obicei „flux” care trece prin suprafață. De exemplu, fie un fluid care curge prin Format:Mvar, astfel încât v(r) determină viteza fluidului la r. Fluxul este definit drept cantitatea de fluid care curge prin Format:Mvar în unitatea de timp.

Această ilustrație implică faptul că, dacă câmpul vectorial este tangent la Format:Mvar în fiecare punct, atunci fluxul este zero deoarece fluidul curge doar paralel cu Format:Mvar, nici înăuntru, nici în afară. Aceasta implică și că dacă v nu curge doar de-a lungul Format:Mvar, adică dacă v are atât o componentă tangențială, cât și una normală, atunci numai componenta normală contribuie la flux. Pe baza acestui raționament, pentru a găsi fluxul, trebuie luat produsul scalar al lui v cu versorul normal n la Format:Mvar în fiecare punct, ceea ce va da un câmp scalar și se integrează câmpul obținut ca mai sus. Cu alte cuvinte, trebuie integrat v în raport cu elementul de suprafață vectorială $\mathrm{d}𝐬=𝐧\mathrm{d}s$, care este vectorul normal la Format:Mvar în punctul dat, a cărui mărime este $\mathrm{d}s=\Vert \mathrm{d}𝐬\Vert .$

Se obține relația

$\begin{array}{cc}\underset{S}{\iint }𝐯\cdot \mathrm{d}𝐬& =\underset{S}{\iint }(𝐯\cdot 𝐧)\mathrm{d}s\\ & =\underset{T}{\iint }(𝐯(𝐫(s,t))\cdot \frac{\frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t}}{\Vert \frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t}\Vert })\Vert \frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t}\Vert \mathrm{d}s\mathrm{d}t\\ & =\underset{T}{\iint }𝐯(𝐫(s,t))\cdot (\frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t})\mathrm{d}s\mathrm{d}t.\end{array}$

Produsul vectorial din partea dreaptă a acestei expresii este normal la suprafața (nu neapărat unitate) determinată de parametrizare. Această formulă definește integrala din stânga.

Se poate interpreta asta ca un caz particular de integrare de speța a 2-a, în care se identifică câmpul vectorial cu o formă de speța întâi și apoi se integrează Format:Ill-wd pe suprafață. Acest lucru este echivalent cu integrarea $⟨𝐯,𝐧⟩\mathrm{d}S$ peste suprafața imersă, unde $\mathrm{d}S$ este volumul indus de suprafață, obținut prin Format:Ill-wd a metricii riemaninene a spațiului ambiant cu direcția normală la suprafață.

Integrale de suprafață ale formelor diferențiale de speța a doua

Fie

$f=f_z\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y+f_x\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+f_y\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x$

o Format:Ill-wd de speța a 2-a definită pe suprafața Format:Mvar, și fie

$𝐫(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))$

o parametrizare care conservă orientarea lui Format:Mvar cu $(s,t)$ în Format:Mvar. Schimbând coordonatele de la $(x,y)$ la $(s,t)$, formele diferențiale se transformă astfel:

$\mathrm{d}x=\frac{\partial x}{\partial s}\mathrm{d}s+\frac{\partial x}{\partial t}\mathrm{d}t$

$\mathrm{d}y=\frac{\partial y}{\partial s}\mathrm{d}s+\frac{\partial y}{\partial t}\mathrm{d}t$

Deci $\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$ se transformă în $\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)}\mathrm{d}s\wedge \mathrm{d}t$, unde $\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)}$ este determinantul Format:Ill-wd a funcției de tranziție de la $(s,t)$ la $(x,y)$. Transformarea celorlalte forme este similară.

Atunci, integrala de suprafață a lui Format:Mvar pe Format:Mvar este dată de

$\underset{D}{\iint }[f_z(𝐫(s,t))\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)}+f_x(𝐫(s,t))\frac{\partial (y,z)}{\partial (s,t)}+f_y(𝐫(s,t))\frac{\partial (z,x)}{\partial (s,t)}]\mathrm{d}s\mathrm{d}t$

unde

$\frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t}=(\frac{\partial (y,z)}{\partial (s,t)},\frac{\partial (z,x)}{\partial (s,t)},\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)})$

este normala la suprafața elementului din Format:Mvar.

Se observă că integrala de suprafață a acestei forme de speța a 2-a este aceeași cu integrala de suprafață a câmpului vectorial care are drept componente $f_x$, $f_y$ și $f_z$.

Legături externe

• Format:En icon Surface Integral, la MathWorld
• Format:En icon Surface Integral, Teorie și exerciții