Produs interior Frobenius

În matematică produsul interior Frobenius este o operație binară între două matrici, ar cărei rezultat este un scalar. Este adesea notat $⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}$. Operația este un produs interior pe elemente a două matrici ca și cum ar fi vectori și satisface axiomele pentru un produs interior. Cele două matrici trebuie să aibă aceeași dimensiune — același număr de linii și coloane, dar nu sunt restricționate să fie matrici pătrate.

Poartă numele matematicianului german Ferdinand Georg Frobenius.

Definiție

Fiind date două matrici complexe Format:Mvar Format:Math și Format:Math, scrise explicit ca

$𝐀=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1m}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nm}\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1m}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{n1}& B_{n2}& \cdots & B_{nm}\end{array}\right)$

produsul scalar Frobenius este deefinit ca fiind

$⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}=\sum _{i,j}\overline{A_{ij}}{B}_{ij}=\mathrm{T}\mathrm{r}\left(\overline{{𝐀}^T}𝐁\right)\equiv \mathrm{T}\mathrm{r}\left({𝐀}^{†}𝐁\right)$

unde suprabararea indică conjugata complexă, iar ${†}^{}$ indică adjuncta. Explicit, această sumă este

$\begin{array}{cc}⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}=& {\bar{A}}_{11}{B}_{11}+{\bar{A}}_{12}{B}_{12}+\cdots +{\bar{A}}_{1m}{B}_{1m}\\ & +{\bar{A}}_{21}{B}_{21}+{\bar{A}}_{22}{B}_{22}+\cdots +{\bar{A}}_{2m}{B}_{2m}\\ & ⋮\\ & +{\bar{A}}_{n1}{B}_{n1}+{\bar{A}}_{n2}{B}_{n2}+\cdots +{\bar{A}}_{nm}{B}_{nm}\\ \end{array}$

Relația cu alte produse

Dacă Format:Math și Format:Math sunt fiecare matrici reale, produsul scalar Frobenius este suma elementelor din produsul Hadamard. Dacă matricile sunt vectorizate (adică, convertite în vectori coloană, notați cu „$\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(\cdot )$”), atunci

$\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(𝐀)=\left(\begin{array}{c}{A}_{11}\\ A_{12}\\ ⋮\\ A_{21}\\ A_{22}\\ ⋮\\ A_{nm}\end{array}\right),\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(𝐁)=\left(\begin{array}{c}{B}_{11}\\ B_{12}\\ ⋮\\ B_{21}\\ B_{22}\\ ⋮\\ B_{nm}\end{array}\right),$$\stackrel{T}{\stackrel{‾}{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(𝐀)}}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(𝐁)=\left(\begin{array}{ccccccc}{\bar{A}}_{11}& {\bar{A}}_{12}& \cdots & {\bar{A}}_{21}& {\bar{A}}_{22}& \cdots & {\bar{A}}_{nm}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{B}_{11}\\ B_{12}\\ ⋮\\ B_{21}\\ B_{22}\\ ⋮\\ B_{nm}\end{array}\right)$

Prin urmare

$⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}=\stackrel{T}{\stackrel{‾}{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(𝐀)}}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(𝐁).$

Proprietăți

Este o Format:Ill-wd, pentru patru matrici complexe Format:Math și două numere complexe Format:Mvar și Format:Mvar:

$⟨a𝐀,b𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}=\bar{a}b⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}$

$⟨𝐀+𝐂,𝐁+𝐃{⟩}_{\mathrm{F}}=⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}+⟨𝐀,𝐃{⟩}_{\mathrm{F}}+⟨𝐂,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}+⟨𝐂,𝐃{⟩}_{\mathrm{F}}$

Permutarea matricelor înseamnă o conjugare complexă:

$⟨𝐁,𝐀{⟩}_{\mathrm{F}}=\overline{⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}}$

Dacă este aceeași matrice,

$⟨𝐀,𝐀{⟩}_{\mathrm{F}}\ge 0$,

și

$⟨𝐀,𝐀{⟩}_{\mathrm{F}}=0⟺𝐀=\mathrm{𝟎}$.

Norma Frobenius

Produsul scalar are norma Frobenius:

$\Vert 𝐀{\Vert }_{\mathrm{F}}=\sqrt{⟨𝐀,𝐀{⟩}_{\mathrm{F}}}.$

Exemple

Matrici reale

Pentru două matrici reale, dacă

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 6\\ 1& -1& 2\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{ccc}8& -3& 2\\ 4& 1& -5\end{array}\right)$

atunci

$⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)=21$

Matrici complexe

Pentru două matrici complexe, dacă

$𝐀=\left(\begin{array}{cc}1+i& -2i\\ 3& -5\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{cc}-2& 3i\\ 4-3i& 6\end{array}\right)$

atunci

$⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}=(1-i)\cdot (-2)+2i\cdot 3i+3\cdot (4-3i)+(-5)\cdot 6=-26-7i$

în timp ce

$⟨𝐁,𝐀{⟩}_{\mathrm{F}}=(-2)\cdot (1+i)+(-3i)\cdot (-2i)+(4+3i)\cdot 3+6\cdot (-5)=-26+7i$

Produsele scalare Frobenius ale lui Format:Math cu sine însăși, respectiv, Format:Math cu sine însăși, sunt:

$⟨𝐀,𝐀{⟩}_{\mathrm{F}}=2+4+9+25=40$$⟨𝐁,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}=4+9+25+36=74$