n-sferă

O 2-sferă văzută ca un Format:Ill-wd într-o proiecție ortogonală

Așa cum o proiecția stereografică poate proiecta suprafața unei sfere pe un plan, ea poate proiecta și o 3-sferă în 3-spațiu. În imagine sunt prezentate trei direcții de coordonate proiectate în 3-spațiu: paralele (roșu), meridiane (albastru) și hipermeridiane (verde).
Deoarece proiecția stereografică este o transformare conformă, curbele se intersectează ortogonal (în punctele galbene) ca în spațiul cvadridimensional. Toate curbele sunt cercuri: curbele care se intersectează 〈0,0,0,1〉 au o rază infinită (sunt drepte).

În matematică o Format:Math-sferă este un spațiu topologic care este homeomorf cu Format:Math-sfera "standard", care este mulțimea punctelor din spațiul euclidian Format:Math-dimensional care sunt situate la o distanță constantă Format:Math de un punct fix, numit centru. Este generalizarea unei sfere obișnuite din spațiul tridimensional obișnuit. Raza unei sfere este distanța constantă a punctelor sale până la centru. Când sfera are raza egală cu o unitate, de obicei este numită Format:Math-sferă unitate, sau, pe scurt, Format:Math-sferă. În ceea ce privește norma standard, Format:Math-sfera este definită drept

$S^n=\{x\in {ℝ}^{n+1}:\Vert x\Vert =1\},$

iar Format:Math-sfera de rază Format:Mvar este definită drept

$S^n(r)=\{x\in {ℝ}^{n+1}:\Vert x\Vert =r\}.$

Dimensiunea unei Format:Math-sfere este Format:Mvar, care nu trebuie confundată cu dimensiunea Format:Math a spațiului euclidian care o conține în mod natural. O Format:Math-sferă este suprafața care mărginește o bilă Format:Math-dimensională.

În particular:

• perechea de puncte de la capetele unui segment (unidimensional) este o 0-sferă,
• un cerc, care este circumferința unidimensională a unui disc bidimensional, este o 1-sferă,
• suprafața bidimensională a unei bile tridimensionale este o 2-sferă, numită uzual sferă,
• frontiera tridimensională a unei 4-bile (cvadridimensională) este o 3-sferă,
• frontiera Format:Math-dimensională a unei Format:Mvar-bile (Format:Mvar-dimensională) este o Format:Math-sferă.

Pentru Format:Math Format:Math-sferele, care sunt Format:Ill-wd, pot fi caracterizate (până la un difeomorfism) ca fiind varietăți Format:Math-dimensionale simplu conexe, cu curbură constantă pozitivă. Format:Math-sferele admit alte câteva descrieri topologice: de exemplu, ele pot fi construite prin lipirea împreună a două spații euclidiene Format:Math-dimensionale, identificând limita unui [[hipercub|Format:Math-cub]] cu un punct, sau (inductiv) prin formarea suspensiei unei Format:Math-sfere. 1-sfera este o 1-varietate care este un cerc, care nu este simplu conex. O 0-sferă este o 0-varietate formată din două puncte, care nici măcar nu sunt conexe.

Prin hipersferă se înțelege în general o n-sferă cu Format:Math > 2.

Descriere

În coordonate euclidiene din Format:Math-spațiu

Mulțimea punctelor din Format:Math-spațiu, Format:Math care definește o Format:Math-sferă, $S^n(r)$ este dată de ecuația:

$r^2=\sum _{i=1}^{n+1}(x_i-c_i{)}^2,$

unde Format:Math este centrul, iar Format:Math este raza.

Format:Math-sfera de mai sus există în spațiul euclidian Format:Math-dimensional și este un exemplu de Format:Math-varietate. Volumul Format:Math unei Format:Math-sfere de rază Format:Math este dat de

$\omega =\frac{1}{r}\sum _{j=1}^{n+1}(-1{)}^{j-1}{x}_{j}d{x}_1\wedge \cdots \wedge d{x}_{j-1}\wedge d{x}_{j+1}\wedge \cdots \wedge d{x}_{n+1}=*dr$

unde Format:Math este Format:Ill-wd (stea); v. Format:Harvtxt pentru demonstrație în cazul Format:Math. Rezultă

$dr\wedge \omega =d{x}_1\wedge \cdots \wedge d{x}_{n+1}.$

Format:Math-bilă

Format:Articol principal Spațiul închis de o Format:Math-sferă se numește Format:Math-bilă. O Format:Math-bilă este închisă dacă include Format:Math-sfera și este deschisă dacă nu o include.

În particular:

• o 1-bilă este un segment, interiorul unei 0-sfere,
• o 2-bilă este un disc, interiorul unui cerc (1-sferă),
• o 3-bilă este o bilă obișnuită, interiorul unei sfere (2-sferă),
• o 4-bilă este interiorul unei 3-sfere etc.

Prin hiperbilă se înțelege în general o n-bilă cu Format:Math > 2.

Descriere topologică

Topologic, o Format:Math-sferă poate fi construită ca o Format:Ill-wd a spațiului euclidian Format:Math-dimensional. Pe scurt, Format:Math-sfera poate fi descrisă ca Format:Math, care este spațiul euclidian Format:Math-dimensional plus un singur punct care reprezintă infinitul în toate direcțiile. În particular, dacă un singur punct este înlăturat de pe o Format:Math-sferă, ea devine homeomorfă cu Format:Math. Asta formează baza proiecției stereografice.

Volumul și aria

Graficele volumelor (V) și ariilor (S) ale n-bilelor de rază 1. Pe imaginea de la commons (faceți la commons clic pe imagine) indicând un punct se va afișa valoarea lui.

Format:Math și Format:Math sunt volumul Format:Math-dimensional al bilei Format:Math-dimensionale, respectiv aria suprafeței Format:Math-sferei Format:Math-dimensionale, de rază Format:Math.

Constantele Format:Math și Format:Math (pentru Format:Math, bila și sfera unitate) sunt legate prin relațiile de recurență:

$\begin{array}{cccc}{V}_0& =1& V_{n+1}& =\frac{S_n}{n+1}\\ S_0& =2& S_{n+1}& =2\pi V_n\end{array}$

Ariile și volumele sunt date și de relațiile:

$\begin{array}{cc}{S}_{n-1}(R)& =\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{R}^{n-1}\\ V_n(R)& =\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{R}^n\end{array}$

unde Format:Math este funcția gamma.

În general, volumul Format:Math-bilei de rază Format:Math din spațiul euclidian Format:Math-dimensional și aria suprafeței Format:Math-sferei de rază Format:Math din spațiul euclidian Format:Math-dimensional sunt proporționale cu a Format:Math-a putere a razei Format:Math (cu diferite constante de proporționalitate care depind de Format:Math). Se poate scrie Format:Math pentru volumul Format:Math-bilei și Format:Math pentru aria suprafeței Format:Math-sferei, ambele de rază Format:Math, unde Format:Math și Format:Math sunt valorile pentru raza 1.

În teorie, se pot compara valorile Format:Math și Format:Math pentru Format:Math. Totuși, acestea nu sunt bine definite. De exemplu, dacă Format:Math și Format:Math atunci comparația este de parcă s-ar compara un număr de metri pătrați cu alt număr de metri cubi. La fel la compararea Format:Math cu Format:Math pentru Format:Math.

Exemple

0-bila este formată dintr-un singur punct. Dimensiunea Hausdorff este numărul de puncte al mulțimii. Prin urmare,

$V_0=1.$

0-sfera este formată din două puncte de capăt, Format:Math. Prin urmare,

$S_0=2.$

1-bila unitate este intervalul Format:Math de lungime 2. Prin urmare,

$V_1=2.$

1-sfera este cercul unitate din planul euclidian, care are circumferința (1-dimensională)

$S_1=2\pi .$

Zona închisă de 1-sferă este 2-bila, sau discul unitate, care are aria (2-dimensională)

$V_2=\pi .$

Analog, în spațiul euclidian 3-dimensional, aria suprafeței (2-dimensională) a 2-sferei este

$S_2=4\pi ,$

iar volumul închis de 3-bila unitate (3-dimensională), este

$V_3=\frac{4}{3}\pi .$

Proiecția stereografică

Format:Articol principal La fel cum o sferă bidimensională din spațiul tridimensional poate fi proiectată pe un plan bidimensional printr-o proiecție stereografică, o Format:Math-sferă poate fi proiectată pe un hiperplan Format:Math-dimensional de versiunea Format:Math-dimensională a proiecției stereografice. De exemplu, punctul Format:Math de pe o sferă bidimensională de rază 1corespunde punctului Format:Math din planul Format:Math. Altfel spus,

$[x,y,z]\mapsto [\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}].$

Analog, proiecția stereografică a unei Format:Math-sfere Format:Math de rază 1 va fi aplicată pe hiperplanul Format:Math-dimensional Format:Math perpendicular pe axa Format:Math ca

$[x_1,x_2,\dots ,x_n]\mapsto [\frac{x_1}{1-x_n},\frac{x_2}{1-x_n},\dots ,\frac{x_{n-1}}{1-x_n}].$

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite journal
• Format:En icon Format:Cite journal
• Format:En icon Format:Cite journal

Legături externe

• Format:En icon Format:MathWorld