Suspensie (topologie)

Suspensia unui cerc. Spațiul inițial este cel albastru, iar punctele de reducere sunt verzi.

În topologie, o ramură a matematicii, suspensia unui spațiu topologic X se obține intuitiv prin alungirea lui X într-un cilindru și apoi reducerea ambelor fețe de capăt (baze) la puncte. X este văzut ca fiind „suspendat” între aceste puncte.

Spațiul SX este uneori numit spațiul neredus, fără bază sau suspendat liber al lui X, pentru a-l distinge de suspensia redusă ΣX a unui spațiu punctat descris mai jos.

Suspensia redusă poate fi utilizată pentru a construi un omomorfism din Format:Ill-wd, căruia i se aplică teorema suspensiei Freudenthal. În Format:Ill-wd fenomenele care sunt conservate prin suspensie într-un sens adecvat alcătuiesc Format:Ill-wd.

Definiția și proprietățile suspensiei

Suspensia $SX$ unui spațiu topologic $X$ este spațiul definit ca:

$SX=v_0{\cup }_{p_0}(X\times [0,1]){\cup }_{p_1}{v}_1=\underset{i\in \{0,1\}}{\underrightarrow{\lim }}((X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{i\})\stackrel{p_i}{\to }{v}_i),$

unde fiecare $v_i$ este un punct, iar $p_i$ este proiecția acestui punct.

Asta înseamnă că suspensia $SX$ este rezultatul atașării cilindrului $X\times [0,1]$ pe fețele sale, $X\times \{0\}$ și $X\times \{1\}$, la punctele $v_i$ de-a lungul proiecțiilor $p_i:(X\times \{i\})\to v_i$.

Se poate vedea suspensia ca două conuri având baza X lipite împreună pe bazele lor. Este, de asemenea, homeomorf cu cuplajul $X\star S^0,$ unde $S^0$ este un spațiu discret cu două puncte.

În termeni aproximativi, S mărește dimensiunea unui spațiu cu unu: de exemplu, pentru n ≥ 0 se trece de la o n-sferă la o (n+1)-sferă.

Având o aplicație continuă $f:X\to Y$, există o aplicație continuă $Sf:SX\to SY$ definită de $Sf([x,t]):=[f(x),t],$ unde parantezele pătrate denotă clasele de echivalență. Aceasta face din $S$ un functor din categoria spațiilor topologice în sine.

Suspensie redusă

Dacă X este un spațiu punctat cu punctele de bază x₀, există o variantă la suspensie, care uenori este mai folositoare. Suspensia 'redusă' sau suspensia bazată ΣX a lui X este spațiul cât:

$\mathrm{\Sigma }X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_0\}\times I)$.

Asta este echivalent cu a considera SX și a reduce dreapta (x₀ × I ) contopind cele două puncte de capăt într-unul singur. Punctul de bază a spațiului punctat ΣX este clasa de echivalență a lui (x₀, 0).

Se poate arăta că suspensia redusă a lui X este homeomorfă cu Format:Ill-wd lui X cu cercul trigonometric S¹:

$\mathrm{\Sigma }X\cong S^1\wedge X$

Pentru spațiile comune, cum ar fi CW complexele, suspensia redusă a lui X este echivalentă omotopic cu suspensia nebazată.

Bibliografie

• Format:En icon Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Presses, Cambridge, 2002. xii+544 pp. Format:Isbn and Format:Isbn
• Format:En icon Format:PlanetMath attribution