Matrice de comutare

În matematică, în special în algebra liniară, o matrice de comutare este folosită pentru transformarea formei vectorizate a unei matrice în forma vectorizată a transpusei. Mai exact, matricea de comutare K^(m,n) este matricea nm × mn care, pentru orice matrice A m × n, transformă vec(A) în vec(A^T):

K^(m,n) vec(A) = vec(A^T) .

Aici vec(A) este vectorul coloană mn × 1 obținut prin aranjarea coloanelor lui A una peste alta:

$\mathrm{vec}(𝐀)=[{𝐀}_{1,1},\dots ,{𝐀}_{m,1},{𝐀}_{1,2},\dots ,{𝐀}_{m,2},\dots ,{𝐀}_{1,n},\dots ,{𝐀}_{m,n}{]}^{\mathrm{T}}$

unde A = [A_i,j]. Cu alte cuvinte, vec(A) este vectorul obținut prin vectorizarea lui A în ordinea principală a coloanelor. Similar, vec(A^T) este vectorul care se obține prin vectorizarea lui A în ordinea principală a liniilor.

Proprietăți

• Matricea de comutare este un tip special de matrice de permutare, prin urmare, este Format:Ill-wd. În special, K^(m,n) este egală cu ${𝐏}_{\pi }$, unde $\pi$ este permutarea peste $\{1,\dots ,mn\}$ pentru care

$\pi (i+m(j-1))=j+n(i-1),i=1,\dots ,m,j=1,\dots ,n.$

• Înlocuirea lui A cu A^T în definiția matricei de comutare arată că Format:Nowrap Prin urmare, în cazul particular al lui m = n matricea de comutare este o involuție și o matrice simetrică.

• Utilizarea principală a matricei de comutare și sursa numelui acesteia este de a comuta produsul Kronecker: pentru orice matrice A m × n și orice matrice B r × q,

${𝐊}^{(r,m)}(𝐀\otimes 𝐁){𝐊}^{(n,q)}=𝐁\otimes 𝐀.$

Această proprietate este adesea folosită în dezvoltarea statisticilor de ordin superior ale matricelor de covarianță Wishart.

• Cazul lui n = q = 1 pentru ecuația de mai sus arată că pentru orice vectori coloană v,w de dimensiuni m,r există

${𝐊}^{(r,m)}(𝐯\otimes 𝐰)=𝐰\otimes 𝐯.$

Această proprietate este motivul pentru care această matrice este denumită operator de schimb în contextul teoriei informației cuantice.

• Două forme explicite pentru matricea de comutare sunt următoarele: dacă prin e_r,j se notează al j-lea vector canonic al dimensiunii „r” (adică vectorul cu 1 în a j-a coordonată și 0 în rest) atunci

${𝐊}^{(r,m)}=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^m\left({𝐞}_{r,i}{{𝐞}_{m,j}}^{\mathrm{T}}\right)\otimes \left({𝐞}_{m,j}{{𝐞}_{r,i}}^{\mathrm{T}}\right)=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^m({𝐞}_{r,i}\otimes {𝐞}_{m,j}){({𝐞}_{m,j}\otimes {𝐞}_{r,i})}^{\mathrm{T}}.$

• Matricea de comutare poate fi exprimată ca următoarea matrice de blocuri:

${𝐊}^{(m,n)}=\left[\begin{array}{ccc}{𝐊}_{1,1}& \cdots & {𝐊}_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {𝐊}_{m,1}& \cdots & {𝐊}_{m,n},\end{array}\right],$

unde elementul p,q al matricei de blocuri K_i,j n × m este dat de

${𝐊}_{ij}(p,q)=\{\begin{array}{cc}1& i=q\text{ si }j=p,\\ 0& \text{altfel}.\end{array}$

De exemplu,

${𝐊}^{(3,4)}=\left[\begin{array}{cccccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$

Exemplu

Fie $A$ matricea $3\times 2$:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right].$

$A$ are vectorizarea în ordinea princpală a coloanelor, respectiv în ordinea princpală a liniilor:

${𝐯}_{\text{col}}=\mathrm{vec}(A)=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\end{array}\right],{𝐯}_{\text{row}}=\mathrm{vec}(A^{\mathrm{T}})=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\\ 5\\ 3\\ 6\end{array}\right].$

Matricea de comutare asociată este

$K={𝐊}^{(3,2)}=\left[\begin{array}{cccccc}1& \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 1& \cdot & \cdot \\ \cdot & 1& \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1& \cdot \\ \cdot & \cdot & 1& \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1\end{array}\right],$

(unde orice $\cdot$ indică un zero). După cum este de așteptat, sunt valabile relațiile:

$K^{\mathrm{T}}K=K{K}^{\mathrm{T}}={𝐈}_6$

$K{𝐯}_{\text{col}}={𝐯}_{\text{row}}$

Bibliografie

• Jan R. Magnus and Heinz Neudecker (1988), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, Wiley.