Vector linie și vector coloană

În algebra liniară, un vector coloană cu Format:Tmath elemente este o matrice $m\times 1$ având o singură coloană cu Format:Tmath elemente, de exemplu,

$𝒙=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right].$

Similar, un vector linie cu Format:Tmath elemente este o matrice $1\times n$ având o singură linie cu Format:Tmath elemente, de exemplu,

$𝒂=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\end{array}\right].$

(În acest articol sunt folosite caractere aldine atât pentru vectorii linie, cât și pentru cei coloană.)

Transpusa (indicată prin Format:Math) oricărui vector linie este un vector coloană, iar transpusa oricărui vector coloană este un vector linie:

${\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]$

și ${\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right].$

Mulțimea tuturor vectorilor linie cu Format:Mvar elemente dintr-un corp dat (cum ar fi cel al numerelor reale) formează un spațiu vectorial Format:Mvar-dimensional. Similar, mulțimea tuturor vectorilor coloană cu Format:Mvar elemente formează un spațiu vectorial Format:Mvar-dimensional.

Spațiul vectorilor linie cu Format:Mvar elemente poate fi privit ca spațiul dual al spațiului vectorilor coloană cu Format:Mvar elemente, deoarece orice funcție liniară din spațiul vectorilor coloană poate fi reprezentată prin înmulțirea la stânga a unui vector linie unic.

Notație

Pentru a simplifica scrierea vectorilor coloană aliniată cu alt text, uneori aceștia se scriu ca vectori linie asupra cărora este aplicată operația de transpunere.

$𝒙={\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$

sau

$𝒙={\left[\begin{array}{c}{x}_1,x_2,\dots ,x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$

Operații

Înmulțirea matricilor implică acțiunea de a înmulți fiecare vector linie al unei matrice cu fiecare vector coloană al altei matrice.

Produsul scalar a doi vectori coloană Format:Math, considerați ca făcând parte dintr-un spațiu de coordonate, este egal cu produsul matricial al transpusei lui Format:Math cu Format:Math,

$𝐚\cdot 𝐛={𝐚}^{⊺}𝐛=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& \cdots & a_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]=a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n,$

De asemenea, datorită simetriei produsului scalar, produsul scalar a doi vectori coloană Format:Math este egal cu produsul matricial al transpusei lui Format:Math cu Format:Math,

$𝐛\cdot 𝐚={𝐛}^{⊺}𝐚=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& \cdots & b_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]=a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n.$

Produsul matricial al unui vector coloană și al unui vector linie dă produsul extern a doi vectori Format:Math, un exemplu din mai generalul Format:Ill-wd. Produsul matricial al reprezentării vectorului coloană Format:Math și reprezentarea vectorului linie Format:Math dă componentele produsului lor diadic,

$𝐚\otimes 𝐛=𝐚{𝐛}^{⊺}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& a_1{b}_3\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& a_2{b}_3\\ a_3{b}_1& a_3{b}_2& a_3{b}_3\end{array}\right],$

care este transpusa produsului matricial al reprezentării vectorului coloană Format:Math și reprezentarea vectorului linie Format:Math,

$𝐛\otimes 𝐚=𝐛{𝐚}^{⊺}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1{a}_1& b_1{a}_2& b_1{a}_3\\ b_2{a}_1& b_2{a}_2& b_2{a}_3\\ b_3{a}_1& b_3{a}_2& b_3{a}_3\end{array}\right].$

Transformări matriciale

O matrice Format:Mvar poate reprezenta o transformare liniară și poate acționa asupra vectorilor linie și coloană ca Format:Ill-wd a aplicației liniare . Pentru un vector linie Format:Math, produsul Format:Math este un alt vector linie Format:Math:

$𝐯M=𝐩.$

Altă matrice Format:Mvar poate acționa supra lui Format:Math,

$𝐩Q=𝐭.$

Atunci se poate scrie Format:Math, deci transformarea produs matricial Format:Mvar aplică Format:Math direct pe Format:Math. Continuând cu vectorii linie, transformările matricei care reconfigurează în continuare Format:Mvar-spațiul pot fi aplicate în dreapta ieșirilor anterioare.

Când un vector coloană este transformat într-un alt vector coloană printr-o acțiune matricială Format:Math, operația are loc la stânga,

${𝐩}^{\mathrm{T}}=M{𝐯}^{\mathrm{T}},{𝐭}^{\mathrm{T}}=Q{𝐩}^{\mathrm{T}},$

ducând la expresia algebrică Format:Math pentru rezultatul global pornind de la Format:Math. Transformările matricei se fac la stânga în această utilizare a unui vector coloană drept vector inițial în transformarea matricială.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation