Legea de inerție a lui Sylvester

Legea de inerție a lui Sylvester este o consecință a clasificării formelor pătratice reale. A fost formulată de către James Joseph Sylvester în 1852. Teorema care afirmă că orice matrice simetrică poate fi redusă la o formă diagonală prin aplicarea unei transformări ortogonale asupra matricei. Mai precis, există o transformare ortogonală (adica o matrice de rotație) care poate fi aplicată matricei simetrice astfel încât matricea rezultată să fie diagonală.

Teoremă. Fie $Q$ o formă pătratică pe $ℰ$, spațiu vectorial de dimensiune finită, atunci există $(e_1,e_2,\cdots ,e_n)$ o bază a lui $ℰ$ și $p,q\in \mathbb{N}$, astfel încât pentru orice vector $x=x_1{e}_1+x_2{e}_2+\cdots +x_n{e}_n\in ℰ$ se verifică relația:

$Q(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots -x_{p+q}^2$.

Legea de inerție a lui Sylvester este foarte importantă în algebra liniară, deoarece ne permite să rezolvăm o serie de probleme practice, cum ar fi calculul valorilor proprii și a vectorilor proprii ai unei matrice simetrice. Poate fi generalizată și pentru Format:Ill-wd, în care caz matricea poate fi redusă la o formă diagonală prin aplicarea unei transformări unitare (adica o matrice de rotație complexă).

Vezi și

• Teorema Sylvester (geometrie)