Teorema Sylvester (geometrie)

În geometria triunghiului, teorema Sylvester exprimă faptul că vectorul care unește centrul cercului circumscris unui triunghi cu ortocentrul acestuia este egal cu suma vectorilor care unesc centrul cercului cu vârfurile triunghiului.

Enunț

În orice triunghi $A B C$ există relația:

(1) \vec{O H} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} .

(Sylvester)

Demonstrație

Se consideră mijlocul $A_{1}$ al laturii $B C$ și $A^{'}$ punctul diametral opus lui $A$ de pe cercul circumscris triunghiului.

Deoarece $(\hat{A B A^{'}})$ și $(\hat{A C A^{'}})$ sunt unghiuri drepte (prin teorema lui Thales (cerc) deoarece $A A^{'}$ este diametru) și $B H ⊥ A C$ și $C H ⊥ A B$ rezultă că $A^{'} B H C$ este paralelogram. Se scriu relațiile vectoriale referitoare la mediana unui triunghi:

2 \vec{M O} = \vec{M A} + \vec{M A^{'}}

\vec{M B} + \vec{M C} = 2 \vec{M A_{1}} = \vec{M H} + \vec{M A^{'}} .

Se obține:

2 \vec{M O} + \vec{M H} = \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} .

Punând $M = O$ se obține egalitatea cerută.

Observație. O propoziție similară este următoarea:

2 \vec{H O} = \vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} .

Aceasta se obține pentru $M = H .$

Vezi și

Legea de inerție a lui Sylvester

Format:Ciot-geometrie

Teorema Sylvester (geometrie)

Enunț

Demonstrație

Vezi și

Meniu de navigare

Căutare