Formula lui Moivre

Formula lui Moivre este o egalitate ce face legătura între numere complexe și trigonometrie. Poartă numele matematicianului Abraham de Moivre, care în 1707 a obținut egalitatea:

$\cos x=\frac{1}{2}(\cos (nx)+i\sin (nx){)}^{1/n}+\frac{1}{2}(\cos (nx)-i\sin (nx){)}^{1/n},$

pe care a reușit să o demonstreze pentru orice $n\in \mathbb{N}.$

Pornind de la aceasta, de Moivre sugerează că are loc și relația:

$(\cos x+i\sin x{)}^n=r^n(\cos nx+i\sin nx),r=\sqrt{a^2+b^2},a=cosx,b=sinx$     (formula lui Moivre)

Leonhard Euler a demonstrat-o utilizând formula lui Cotes.

Cea mai simplă demonstrație a formulei face apel la metoda inducției matematice. Astfel în cazul inițial pentru $n=1$ formula este verificată.

Acum se trece la demonstrarea pasului inductiv presupunând formula adevărată pentru $n=k$ adică:

$(\cos x+i\sin x{)}^k=r^k(\cos kx+i\sin kx),a=cosx,b=sinx$

și se arată de aici valabilitatea formulei și pentru $n=k+1.$

Într-adevăr, $(\cos x+i\sin x{)}^{k+1}=(\cos x+i\sin x{)}^k\cdot (\cos x+i\sin x)=(\cos kx+i\sin kx)\cdot (\cos x+i\sin x)=$

$=(\cos kx\cdot \cos x-\sin kx\cdot \sin x)+i(\sin kx\cdot \cos x+\sin x\cdot \cos kx)=\cos (k+1)x+i\sin (k+1)x.$

Cazul puterii cu exponent rațional

Formula lui Moivre este valabilă și pentru $n\in \mathbb{Z}.$ întreg negativ. Dacă în locul lui n este introdus inversul său ca exponent fracționar $\frac{1}{n}$ și se ia $x=2k\pi ,$ se obține:

$1^{1/n}=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n},$

care are n valori diferite când k parcurge mulțimea $\{0,1,2,\cdots ,n-1\}.$ Acestea sunt de fapt rădăcinile de ordinul n ale unității, situate pe cercul unitate.