Extindere normală

În algebra abstractă o extindere normală este o extindere de corp algebric L/K pentru care fiecare polinom ireductibil peste K care are o rădăcină în L, se împarte în factori liniari în L.Format:SfnFormat:Sfn Acestea sunt una dintre condițiile pentru ca extinderile algebrice să fie o Format:Ill-wd. Bourbaki numește o astfel de extindere o cvasiextindere Galois.

Definiție

Fie $L/K$ o extindere algebrică (adică L este o extindere algebrică pe K), astfel încât $L\subseteq \bar{K}$ (adică L este conținută într-o închidere algebrică a lui K). Apoi, următoarele condiții, care fiecare dintre ele poate fi considera drept o definiție a extinderii normale, sunt echivalente:Format:Sfn

• Orice încorporare a L în $\bar{K}$ induce un automorfism pe L.
• L este Format:Ill-wd al familiei de polinoame din $K\left[X\right]$.
• Orice polinom ireductibil din $K\left[X\right]$ care are o rădăcină în L se descompune în L în factori liniari.

Alte proprietăți

Fie L o extindere pe corpul K. Atunci:

• Dacă L este o extindere normală pe K și dacă E este o extindere intermediară (adică L ⊃ E ⊃ K), atunci L este o extindere normală pe E.Format:Sfn
• Dacă E și F sunt extinderii normale pe K cuprinse în L, atunci Format:Ill-wd EF și E ∩ F sunt și ele extinderi normale pe K.Format:Sfn

Condiții echivalente pentru normalitate

Fie $L/K$ algebrică. Corpul L este o extindere normală dacă și numai dacă sunt îndeplinite oricare dintre condițiile echivalente de mai jos.

• Polinomul minimal peste K al fiecărui element din L se descompune pe L;
• Există o mulțime $S\subseteq K[x]$ a polinoamelor care simultan se descompun pe L, astfel încât $K\subseteq F⊊L$ sunt corpuri, atunci S are un polinom care nu se descompune pe F;
• Toate omomorfismele $L\to \overline{K}$ au aceeași imagine;
• Grupul de automorfisme $\text{Aut}(L/K),$ al L care fixează elemente din K, acționează tranzitiv asupra setului de omomorfisme $L\to \overline{K}.$

Exemple și contraexemple

De exemplu, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ este o extindere normală pe $\mathbb{Q},$ deoarece este corpul de descompunere al $x^2-2.$ Pe de altă arte, $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ nu este o extindere normală pe $\mathbb{Q}$ deoarece polinomul ireductibil $x^3-2$ are o rădăcină în el, $\sqrt[3]{2}$, dar nu și pe toate (nu are rădăcinile cubice imaginare ale lui 2). Se reamintește că corpul $\bar{\mathbb{Q}}$ al numerelor algebrice este închiderea algebrică a $\mathbb{Q},$ adică ea conține $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}).$ Deoarece $$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\in \bar{\mathbb{Q}}|a,b,c\in \mathbb{Q}\}$$ și, dacă $\omega$ este o rădăcină cubică primitivă a unității, atunci aplicația $$\{\begin{array}{c}\sigma :\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})⟶\bar{\mathbb{Q}}\\ a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}⟼a+b\omega \sqrt[3]{2}+c{\omega }^2\sqrt[3]{4}\end{array}$$ este o încorporare a $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ în $\bar{\mathbb{Q}}$ a cărei restricție la $\mathbb{Q}$ este identitatea. Totuși, $\sigma$ nu este un automorfism al $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}).$

Pentru orice număr prim $p,$ extinderea $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},{\zeta }_p)$ are in mod normal gradul $p(p-1).$ Este corpul de descompunere al $x^p-2.$ Aici ${\zeta }_p$ semnifică a $p$-a rădăcină primitivă a unității. Corpul $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},{\zeta }_3)$ este închiderea normală a $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}).$

Închidere normală

Dacă K este un corp iar L este o extindere algebrică pe K, atunci există o extindere algebrică M pe L astfel încât M este o extindere normală pe K. Mai mult, până la izomorfism, există o singură astfel de extindere care este minimală, adică singurul subcorp al M care conține L și a cărui extindere normală pe K este M însuși. Această extindere este numită închiderea normală a extinderii L pe K.

Dacă L este o extindere finită pe K, atunci extinderea sa normală este și ea o extindere finită.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Lang Algebra
• Format:En icon Format:Citation