Entropie liberă

În termodinamică entropia liberă^[1] este un potențial termodinamic entropic analog cu energia liberă. Este cunoscut și ca potențiale (sau funcții) Massieu, Planck sau Massieu–Planck. În mecanica statistică, entropiile libere apar frecvent ca logaritmul unei Format:Ill-wd. În special relațiile de reciprocitate ale lui Onsager sunt formulate cu ajutorul potențialelor entropice. În matematică, entropia liberă înseamnă ceva cu totul diferit: este o generalizare a entropiei definită la subiectul probabilitate liberă.

Entropia liberă este generată de o transformare Legendre a entropiei. Diferite potențiale corespund diferitelor constrângeri la care poate fi supus sistemul.

Exemple

Format:Vezi și Exemplele cele mai cunoscute sunt:

Nume	Funcție	Fcț. alternativă	Variabile naturale
Entropie	$S = \frac{1}{T} U + \frac{P}{T} V - \sum_{i = 1}^{s} \frac{μ_{i}}{T} N_{i}$		$U, V, {N_{i}}$
Potențial Massieu / Entropie liberă Helmholtz	$Φ = S - \frac{1}{T} U$	$= - \frac{A}{T}$	$\frac{1}{T}, V, {N_{i}}$
Potențial Planck / Entropie liberă Gibbs	$Ξ = Φ - \frac{P}{T} V$	$= - \frac{G}{T}$	$\frac{1}{T}, \frac{P}{T}, {N_{i}}$

unde Format:Col-begin Format:Col-break

S

este entropia

Φ

este potențialul Massieu ^[2]^[3]

Ξ

este potențialul Planck^[2]

U

este energia internă

Format:Col-break

T

este temperatura

P

este presiunea

V

este volumul

A

este energia liberă Helmholtz

Format:Col-break

G

este energia liberă Gibbs

N_{i}

este numărul de particule (sau numărul de moli) ale celui de al i-lea component chimic

μ_{i}

este potențialul chimic ale celui de al i-lea component chimic

s

este numărul total de componenți chimici

i

este al i-lea component.

Format:Col-end

De notat că utilizarea termenilor „Massieu” și „Planck” pentru potențialele Massieu–Planck explicite este oarecum ambiguu. În special „potențialul Planck” are semnificații alternative. Notația standard pentru un potențial entropic este $ψ$ , folosită atât de Planck cât și de Schrödinger. (Gibbs a folosit $ψ$ pentru a desemna energia liberă.) Entropiile libere au fost introduse de inginerul francez François Massieu în 1869 și de fapt preced energia liberă a lui Gibbs (1875).

{{#invoke:Sidebar |collapsible | bodyclass = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.3em;border-bottom:1px solid #aaa; | title = Termodinamică | imagestyle = display:block;margin:0.3em 0 0.4em; | image = | caption = Schema unei mașini termice Carnot | listtitlestyle = text-align:center; | expanded = potențiale

| list1name = ramuri | list1title = Ramuri | list1 = Format:Flatlist

Format:Endflatlist

de echilibru Format:\de neechilibru

| list2name = principii | list2title = Principii | list2 = Format:Flatlist

Format:Endflatlist

| list3name = sisteme | list3title = Sisteme | list3 = Format:Flatlist

Format:Endflatlist

Format:Sidebar

| list4name = proprietăți | list4title = Propertăți ale sistemelor

| list4 =

Notă: Parametri conjugați cu italice

Format:Sidebar

| list5name = material | list5title = Proprietăți ale materialelor | list5 =

Capacitate termică masică

c =

$T$	$\partial S$
$N$	$\partial T$

Coeficient de compresibilitate

β = -

$1$	$\partial V$
$V$	$\partial p$

Coeficient de dilatare volumică

α =

$1$	$\partial V$
$V$	$\partial T$

| list6name = ecuații | list6title = Ecuații | list6 = Format:Flatlist

Format:Endflatlist Format:Flatlist

Format:Endflatlist

Tabel cu ecuații termodinamice

| list7name = potențiale | list7title = Potențiale | list7 = Format:Unbulleted list Format:Flatlist

Entropie liberă

Format:Endflatlist

| list8name = istorie | list8title = Format:Hlist | list8 =

Format:Sidebar

| list9name = personalități | list9title = Personalități | list9 = Format:Flatlist

Format:Endflatlist | below =

Categorie

}}

Dependența potențialelor de variabilele naturale

Entropie

S = S (U, V, {N_{i}})

Din definiția diferențialei exacte se obține:

d S = \frac{\partial S}{\partial U} d U + \frac{\partial S}{\partial V} d V + \sum_{i = 1}^{s} \frac{\partial S}{\partial N_{i}} d N_{i} .

Din ecuațiile de stare se obține:

d S = \frac{1}{T} d U + \frac{P}{T} d V + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i}}{T}) d N_{i} .

Diferențialele din ecuațiile de mai sus sunt formate din variabile extensive, deci pot fi integrate pentru a se obține

S = \frac{U}{T} + \frac{P V}{T} + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i} N}{T}) .

Potențialul Massieu / Entropia liberă Helmholtz

Φ = S - \frac{U}{T}

Φ = \frac{U}{T} + \frac{P V}{T} + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i} N}{T}) - \frac{U}{T}

Φ = \frac{P V}{T} + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i} N}{T})

Pornind de la definiția $Φ,$ din diferențiala exactă, printr-o transformare Legendre (și, ținând cont de derivarea funcțiilor compuse) se obține:

d Φ = d S - \frac{1}{T} d U - U d \frac{1}{T},

d Φ = \frac{1}{T} d U + \frac{P}{T} d V + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i}}{T}) d N_{i} - \frac{1}{T} d U - U d \frac{1}{T},

d Φ = - U d \frac{1}{T} + \frac{P}{T} d V + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i}}{T}) d N_{i} .

Diferențialele de mai sus nu sunt formate doar din variabile extensive, astfel încât se poate ca ecuația să nu poată fi integrată direct. Din $d Φ$ se vede că:

Φ = Φ (\frac{1}{T}, V, {N_{i}}) .

Dacă nu se doresc variabile reciproce,^[4]Format:Rp

d Φ = d S - \frac{T d U - U d T}{T^{2}},

d Φ = d S - \frac{1}{T} d U + \frac{U}{T^{2}} d T,

d Φ = \frac{1}{T} d U + \frac{P}{T} d V + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i}}{T}) d N_{i} - \frac{1}{T} d U + \frac{U}{T^{2}} d T,

d Φ = \frac{U}{T^{2}} d T + \frac{P}{T} d V + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i}}{T}) d N_{i},

Φ = Φ (T, V, {N_{i}}) .

Potențialul Planck / Entropia liberă Gibbs

Ξ = Φ - \frac{P V}{T}

Ξ = \frac{P V}{T} + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i} N}{T}) - \frac{P V}{T}

Ξ = \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i} N}{T})

Pornind de la definiția lui $Ξ$ din diferențiala exactă, printr-o transformare Legendre (și, ținând cont de derivarea funcțiilor compuse) se obține:

d Ξ = d Φ - \frac{P}{T} d V - V d \frac{P}{T}

d Ξ = - U d \frac{2}{T} + \frac{P}{T} d V + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i}}{T}) d N_{i} - \frac{P}{T} d V - V d \frac{P}{T}

d Ξ = - U d \frac{1}{T} - V d \frac{P}{T} + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i}}{T}) d N_{i} .

Diferențialele de mai sus nu sunt formate doar din variabile extensive, astfel încât se poate ca ecuația să nu poată fi integrată direct. Din $d Ξ$ se vede că

Ξ = Ξ (\frac{1}{T}, \frac{P}{T}, {N_{i}}) .

Dacă nu se doresc variabile reciproce,^[4]Format:Rp

d Ξ = d Φ - \frac{T (P d V + V d P) - P V d T}{T^{2}},

d Ξ = d Φ - \frac{P}{T} d V - \frac{V}{T} d P + \frac{P V}{T^{2}} d T,

d Ξ = \frac{U}{T^{2}} d T + \frac{P}{T} d V + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i}}{T}) d N_{i} - \frac{P}{T} d V - \frac{V}{T} d P + \frac{P V}{T^{2}} d T,

d Ξ = \frac{U + P V}{T^{2}} d T - \frac{V}{T} d P + \sum_{i = 1}^{s} (- \frac{μ_{i}}{T}) d N_{i},

Ξ = Ξ (T, P, {N_{i}}) .

Note

↑ Călin Lucian Maniu, Fișa disciplinei biofizică, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2024-07-02
↑ ^2,0 ^2,1 Format:En icon Format:Cite web
↑ Format:En icon Format:Cite journal
↑ ^4,0 ^4,1 Format:En icon Format:Cite book

Bibliografie

Format:Fr icon Format:Cite journal

Format:En icon Format:Cite book

Format:Portal

[CLM-1] Călin Lucian Maniu, Fișa disciplinei biofizică, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2024-07-02

[Planes2000-2] 2,0 ^2,1 Format:En icon Format:Cite web

[3] Format:En icon Format:Cite journal

[Debye1954-4] 4,0 ^4,1 Format:En icon Format:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

Entropie liberă

Cuprins

Exemple

Dependența potențialelor de variabilele naturale

Entropie

Potențialul Massieu / Entropia liberă Helmholtz

Potențialul Planck / Entropia liberă Gibbs

Note

Bibliografie

Meniu de navigare

Entropie liberă

Exemple

Dependența potențialelor de variabilele naturale

Entropie

Potențialul Massieu / Entropia liberă Helmholtz

Potențialul Planck / Entropia liberă Gibbs

Note

Bibliografie

Meniu de navigare

Căutare