Divizibilitate

În matematică noțiunea de divizor a apărut inițial în contextul aritmeticii numerelor întregi. Odată cu dezvoltarea inelelor, dintre care întregii sunt arhetipul, noțiunea originală de divizor a fost extinsă natural.

Divizibilitatea este un concept util pentru analiza structurii inelelor comutative din cauza relației sale cu structura idealelor unor astfel de inele.

Exemple

În inelul numerelor întregi $R=\mathbb{Z}$ fie elementele $a,b$.

• $a=4$ este un divizor al lui $b=12$, deoarece la $12/4=3$ cu restul $0$ sau, exprimat diferit și mai potrivit pentru generalizare, există $x=3\in R$ astfel încât $ax=b$.
• $a=4$ nu este un divizor al lui $b=13$, deoarece la $13/4=3$ cu restul $1$ nu există nici un $x\in R$ astfel încât $ax=b$.

În corpul numerelor reale $S=ℝ$, o extindere a numerelor întregi, avem

• $a=4$ încă este un divizor al lui $b=12$, deoarece la $12/4=3$ există $x=3\in S$ astfel încât $ax=b$.
• $a=4$ devine un divizor al lui $b=13$, deoarece la $13/4=3,25$, acesta este acum un număr real în $S$ respectiv există $x=3,25\in S$ astfel încât $ax=b$.

În inelul de polinoame cu coeficienți întregi $R^{\prime }=\mathbb{Z}[X]$ avem

• $a=X+1$ este un divizor al lui $b=X^2-1$, deoarece prin împărțirea polinomială $(X^2-1)/(X+1)=X-1$ cu restul $0$ există $x=X-1\in R^{\prime }$ astfel încât $ax=b$.
• $a=X+3$ nu este un divizor al lui $b=X^2-3$, deoarece la $(X^2-3)/(X+3)=X-3$ cu restul $6$ nu există nici un $x\in R^{\prime }$ astfel încât $ax=b$. De fapt, se poate arăta că $b=X^2-3$ nu are niciun divizor netrivial, ceea ce în acest caz înseamnă că polinomul de gradul al doilea $b$ nu are divizori liniari, cum ar fi $a=X+3$.

În inelul de polinoame cu coeficienți reali $S^{\prime }=ℝ[X]$, o extindere a polinoamelor cu coeficienți întregi, avem

• $a=X+1$ încă este un divizor al lui $b=X^2-1$, deoarece la $(X^2-1)/(X+1)=X-1$ există $x=X-1\in S^{\prime }$ astfel încât $ax=b$.
• $b=X^2-3$ are divizori netriviali, explicit $\tilde{a}=X+\sqrt{3}$, deoarece la $(X^2-3)/(X+\sqrt{3})=X-\sqrt{3}$ există $\tilde{x}=X-\sqrt{3}\in S^{\prime }$ astfel încât $\tilde{a}\tilde{x}=b$. De observat că $a=X+3$ tot nu este un divizor al lui $b=X^2-3$, din același motiv ca la $R^{\prime }=\mathbb{Z}[X]$ de mai sus.

Aceste exemple ilustrează faptul că noțiunea de divizibilitate nu depinde numai de elementele $a$ și $b$ în sine, ci și de contextul structurii algebrice a unui inel de care aparțin $a,b$ și operația de înmulțire. În general, divizibilitatea se conservă în extinderi, unde poate fi dobândită mai multă divizibilitate.

Definiție

Fie Format:Mvar un inel (în acest articol, se presupune că inelele au elementul 1) și Format:Mvar și Format:Mvar elemente ale lui Format:Mvar . Dacă există un element Format:Mvar în Format:Mvar cu Format:Mvar, se spune că Format:Mvar este un divizor la stânga al lui Format:Mvar, iar acel Format:Mvar este un multiplu la dreapta al lui Format:Mvar. Similar, dacă există un element Format:Mvar în Format:Mvar cu Format:Mvar, se spune că Format:Mvar este un divizor la dreapta al lui Format:Mvar, iar acel Format:Mvar este un multiplu la stânga lui Format:Mvar. Se spune că Format:Mvar este un divizor al lui Format:Mvar dacă este atât un divizor la stânga, cât și un divizor la dreapta al lui Format:Mvar; variabilele Format:Mvar și Format:Mvar de mai sus nu trebuie să fie egale.

Când Format:Mvar este comutativ, noțiunile de „divizor la stânga” și „divizor la dreapta” coincid, așa că se spune simplu că Format:Mvar este un „divizor” al lui Format:Mvar, sau că acel Format:Mvar este un multiplu al lui Format:Mvar, și se scrie $a\mid b$. Elementele Format:Mvar și Format:Mvar ale unui domeniu de integritate sunt asociate dacă există atât $a\mid b$ cât și $b\mid a$. Relația de asociere este o relație de echivalență pe Format:Mvar, deci împarte Format:Mvar în Format:Ill-wd disjuncte.

Proprietăți

Enunțurile despre divizibilitatea într-un inel comutativ Format:Mvar pot fi traduse în enunțuri despre ideale principale. De exemplu,

• $a\mid b$ dacă și numai dacă $(b)\subseteq (a)$.
• Elementele Format:Mvar și Format:Mvar sunt asociate dacă și numai dacă $(a)=(b)$.
• Un element Format:Mvar este o Format:Ill-wd dacă și numai dacă Format:Mvar este un divizor al fiecărui element din Format:Mvar.
• Un element Format:Mvar este o unitate dacă și numai dacă $(u)=R$.
• Dacă $a=bu$ pentru o unitate Format:Mvar, atunci Format:Mvar și Format:Mvar sunt asociate. Dacă Format:Mvar este un domeniu de integritate, atunci reciproca este adevărată.
• Fie Format:Mvar un domeniu de integritate. Dacă elementele din Format:Mvar sunt total ordonate după divizibilitate, atunci Format:Mvar se numește Format:Ill-wd.

Mai sus $(a)$ este idealul principal al $R$ generat de elementul $a$.

Zero ca divizor și ca divizor al lui zero

• Unii autori cer ca definiția divizorului Format:Mvar să conțină faptul că divizorul trebuie fie diferit de zero, dar acest lucru face ca unele dintre proprietățile de mai sus să eșueze.
• Dacă se interpretează definiția divizorului literal, orice Format:Mvar este un divizor al lui 0, deoarece se poate lua Format:Math. Din această cauză tradițional se abuzează de terminologie făcând o excepție pentru divizorii lui zero: un element Format:Mvar dintr-un inel comutativ se numește divizor al lui zero dacă există un Format:Mvar nenul astfel încât Format:Math.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation

Vezi și

• Divizor al lui zero