Hipercub

Reprezentări în perspectivă

3-cub (cub)	4-cub (tesseract)

În geometrie, un hipercub este corespondentul într-un spațiu n-dimensional al pătratului din spațiul bidimensional (n = 2), respectiv al cubului din spațiul tridimensional (n = 3). Sunt politopuri regulate, închise, compacte, convexe, al căror schelet este format din segmente de aceeași lungime, paralele, opuse, aliniate cu direcțiile dimensiunilor, și perpendiculare unele pe altele. Lungimea celor mai lungi diagonale ale unui hipercub în n dimensiuni este $\sqrt{n}$.

Un hipercub n-dimensional este numit adesea n-cub sau, uneori, cub n-dimensional. Termenul politop de măsură (Format:En) (folosit inițial de Elte în 1912) este de asemenea întâlnit, în special în lucrările lui H. S. M. Coxeter, care notează hipercuburile cu γ_n.

Hipercubul este un caz particular al Format:Ill-wd (care este numit și „n-ortotop”).

Hipercubul unitar este un hipercub ale cărui laturi au lungimea de o unitate. Hipercubul care are cele 2ⁿ vârfuri din Rⁿ cu fiecare coordonată egală cu 0 sau 1 este numit „hipercubul unitate”.

Construcția

Schema generării unui 4-cub dintr-un punct

Animație cu generarea unui 4-cub dintr-un punct

Proiecția unui 4-cub (tesseract) în rotație

Un hipercub poate fi definit prin creșterea numărului de dimensiuni:

0 – Un punct este un hipercub în zero dimensiuni.

1 – Deplasând punctul cu o unitate de lungime de-a lungul unei dimensiuni se va obține un segment, care este un hipercub cu o dimensiune.

2 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe direcția segmentului, cu o unitate de lungime, se va obține un pătrat, care este un hipercub în două dimensiuni.

3 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe planul pătratului, cu o unitate de lungime, se va obține un cub, care este un hipercub în trei dimensiuni.

4 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe celelalte trei dimensiuni, cu o unitate de lungime, se va obține un 4-cub, care este un hipercub în patru dimensiuni (numit și tesseract).

Procedeul se poate generaliza pentru orice număr de dimensiuni. Acest proces de parcurgere a volumelor poate fi formalizat matematic ca o Format:Ill-wd: hipercubul d-dimensional este suma Minkowski a d segmente mutual perpendiculare, prin urmare este un exemplu de zonotop.

1-scheletul hipercubului este Format:Ill-wd.

Coordonate

Hipercubul unitar în n dimensiuni este anvelopa convexă a punctelor date de toate permutările semnelor coordonatelor carteziene $(\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2},\cdots ,\pm \frac{1}{2})$. El are laturile de lungime 1 și un volum n-dimensional de 1.

Un hipercub n-dimensional este adesea privit ca anvelopa convexă a tuturor permutărilor semnelor coordonatelor $(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$. Această formă este des folosită datorită ușurinței scrierii coordonatelor. În acest caz lungimea laturilor este 2, iar volumul său n-dimensional este 2ⁿ.

Elemente

Orice n-cub pentru n > 0 este format din elemente, sau n-cuburi de dimensiune inferioară, plasate pe suprafețele (n−1)-dimensionale ale hipercubului de proveniență. Fețele sale sunt hipercuburi (n−1)-dimensionale. Un hipercub n-dimensional are 2n elemente care-l mărginesc: o dreaptă unidimensională are 2 puncte de capăt; un pătrat bidimensional are 4 laturi; un cub tridimensional are 6 fețe bidimensionale, un 4-cub (tesseract) are 8 celule tridimensionale. Numărul de vârfuri ale unui hipercub este $2^n$ (de exemplu cubul are $2^3$ vârfuri (colțuri)).

Numărul de hipercuburi m-dimensionale (în continuare se va folosi această expresie pentru hipercuburi de dimensiuni inferioare) pe frontierele unui n-cub este

$E_{m,n}=2^{n-m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$,Format:Sfn     unde $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=\frac{n!}{m!(n-m)!}$       unde n! este factorial de n.

De exemplu, pe frontierele unui 4-cub (n = 4) există 8 cuburi (tip 3-cub), 24 de pătrate (2-cub), 32 de segmente (1-cub) și 16 vârfuri (0-cub).

Această relație poate fi demonstrată pe cale combinatorică: fiecare dintre $2^n$ vârfuri definește un capăt pe frontierele m-dimensionale. Există $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$ moduri în care se pot alege liniile ("laturile") care definesc subspațiul definit de aceste laturi. Dar, deoarece fiecare latură apare de $2^m$ ori în vârfuri, numărul vârfurilor se obține prin împărțirea totalului cu acest număr.

Această relație se poate folosi pentru a obține formula pentru suprafața hipercubului n-dimensional. Această suprafață este: $2n{s}^{n-1}$.

Aceste valori pot fi obținute cu relația liniară recursivă

$E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}$,       cu $E_{0,0}=1$   și elementele încă nedefinite (unde $n<m$, $n<0$, sau $m<0$ ) $=0$.

De exemplu, prin extensia pătratului, în fiecare din cele 4 colțuri ale sale apare câte un segment, din care se vor forma pătratele care vor mărgini cubul, obținând-se în total $E_{1,3}$ = 12 segmente (muchiile cubului).

Elementele hipercuburilor $E_{m,n}$ (secvența OEIS A038207))

			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	n-cub	Denumiri alternative	Simbol Schläfli Coxeter	Vârf 0-fețe	Latură 1-fețe	Fețe 2-fețe	Celulă 3-fețe	4-fețe	5-fețe	6-fețe	7-fețe	8-fețe	9-fețe	10-fețe
0	0-cub	Punct Monon	( ) Format:CDD	1
1	1-cub	Segment Dion	{} Format:CDD	2	1
2	2-cub	Pătrat Tetragon	{4} Format:CDD	4	4	1
3	3-cub	Cub Hexaedru	{4,3} Format:CDD	8	12	6	1
4	4-cub	Tesseract 8-celule	{4,3,3} Format:CDD	16	32	24	8	1
5	5-cub	Pentaract Deca-5-top	{4,3,3,3} Format:CDD	32	80	80	40	10	1
6	6-cub	Hexaract Dodeca-6-top	{4,3,3,3,3} Format:CDD	64	192	240	160	60	12	1
7	7-cub	Heptaract Tetradeca-7-top	{4,3,3,3,3,3} Format:CDD	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8-cub	Octaract Hexadeca-8-top	{4,3,3,3,3,3,3} Format:CDD	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9-cub	Enearact Octodeca-9-top	{4,3,3,3,3,3,3,3} Format:CDD	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10-cub	Decaract Icosa-10-top	{4,3,3,3,3,3,3,3,3} Format:CDD	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Grafuri

Un n-cub poate fi proiectat într-un poligon regulat cu 2n laturi (Poligon Petrie). Tabelul următor prezintă exemple de la segment până la 15-cub.

Proiecția ortogonală a poligoanelor Petrie

Segment	Pătrat	Cub	4-cub	5-cub
6-cub	7-cub	8-cub	9-cub	10-cub
11-cub	12-cub	13-cub	14-cub	15-cub

Familii conexe de politopuri

Hipercuburile aparțin uneia dintre puținele familii de politopuri regulate care sunt reprezentate în orice număr de dimensiuni.

Familia de hipercuburi este una dintre cele trei familii de politopuri regulate, notate de Coxeter cu γ_n. Celelalte două sunt familia pereche a hipercubului, ortoplecșii, notați cu β_n, și simplexurile, notate cu α_n. A patra familie, fagurii hipercubici a fost notată de el cu δ_n.

O altă familie înrudită de politopuri uniforme semiregulate sunt Format:Ill-wd, care sunt construite din hipercuburi prin ștergerea alternantă de vârfuri și adăugarea în goluri a simplexurilor, forme notate cu hγ_n.

n-cuburile pot fi combinate cu perechile lor (ortoplecșii) pentru a forma politopuri compuse:

• în două dimensiuni se obține octagrama stelată, simbol Schläfli {8/2},
• în trei dimensiuni se obține compusul de cub și octaedru,
• în patru dimensiuni se obține compusul de tesseract și 16-celule.

Relația cu (n−1)-simplexurile

Graful laturilor unui n-hipercub este izomorf cu Format:Ill-wd a laticei fețelor (n−1)-simplexului. Acest fapt poate fi observat orientând diagrama n-hipercubului astfel încât două noduri să fie aliniate vertical, nodul de sus corespunzând (n−1)-simplexului însuși, iar cel de jos politopului nul. Fiecare nod conectat la nodul de sus marchează într-un mod unic o față (față n−2) a (n−1)-simplexului, fiecare nod conectat la aceste noduri marchează o față n−3 a simplexului, și tot așa, iar nodurile conectate nodului de jos marchează vârfurile simplexului.

Metoda poate fi folosită pentru a obține în mod eficient laticea fețelor unui (n−1)-simplex, deoarece algoritmii de enumerare a laticei fețelor aplicabili la politopuri în general necesită capacități de calcul mai mari.

Hipercuburi generalizate

Format:Ill-wd regulate pot fi definite în spațiul complex Hilbert drept hipercuburi generalizate, γFormat:Subsuper = _p{4}₂{3}...₂{3}₂, sau Format:CDD..Format:CDD. Există soluții reale pentru p = 2, de exemplu γFormat:Subsuper = γ_n = ₂{4}₂{3} ...  ₂{3}₂ = {4, 3, … , 3}. Pentru p > 2, ele există în ${ℂ}^n$. Fețele sunt (n−1)-cuburi generalizate, iar vârfurile sunt simplexuri regulate.

Perimetrele poligoanelor regulate din proiecțiile ortogonale ale acestora sunt poligoane Petrie. Pătratele generalizate (n = 2) sunt trasate cu p-laturi în culori alternante, roșu și albastru, iar n-cuburile sunt trasate cu linii negre.

Numărul elementelor de tip m-față ale n-cubului p-generalizat este: $p^{n-m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$. Există pⁿ vârfuri și pn fețe.

Hipercuburi generalizate

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${ℝ}^2$	γFormat:Subsuper = {4} = Format:CDD 4 vârfuri	${ℂ}^2$	γFormat:Subsuper = Format:CDD 9 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 16 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 25 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 36 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 49 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 64 vârfuri
${ℝ}^3$	γFormat:Subsuper = {4,3} = Format:CDD 8 vârfuri	${ℂ}^3$	γFormat:Subsuper = Format:CDD 27 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 64 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 125 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 216 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 343 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 512 vârfuri
${ℝ}^4$	γFormat:Subsuper = {4,3,3} = Format:CDD 16 vârfuri	${ℂ}^4$	γFormat:Subsuper = Format:CDD 81 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 256 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 625 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 1296 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 2401 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 4096 vârfuri
${ℝ}^5$	γFormat:Subsuper = {4,3,3,3} = Format:CDD 32 vârfuri	${ℂ}^5$	γFormat:Subsuper = Format:CDD 243 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 1024 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 3125 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 7776 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 16,807 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 32,768 vârfuri
${ℝ}^6$	γFormat:Subsuper = {4,3,3,3,3} = Format:CDD 64 vârfuri	${ℂ}^6$	γFormat:Subsuper = Format:CDD 729 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 4096 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 15,625 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 46,656 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 117,649 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 262,144 vârfuri
${ℝ}^7$	γFormat:Subsuper = {4,3,3,3,3,3} = Format:CDD 128 vârfuri	${ℂ}^7$	γFormat:Subsuper = Format:CDD 2187 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 16,384 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 78,125 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 279,936 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 823,543 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 2,097,152 vârfuri
${ℝ}^8$	γFormat:Subsuper = {4,3,3,3,3,3,3} = Format:CDD 256 vârfuri	${ℂ}^8$	γFormat:Subsuper = Format:CDD 6561 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 65,536 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 390,625 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 1,679,616 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 5,764,801 vârfuri	γFormat:Subsuper = Format:CDD 16,777,216 vârfuri

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)

Lectură suplimentară

• Format:En icon Format:Cite journal
• Format:En icon Format:Cite book

Legături externe

• Format:Commonscat-inline
• Format:En icon Format:MathWorld (Format:Ro)
• Format:En icon Format:MathWorld (Format:Ro)
• Format:En icon www.4d-screen.de (Rotation of 4D – 7D-Cube) (Format:Ro)
• Format:En icon Rotating a Hypercube (Format:Ro) de Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.
• Format:En icon Stereoscopic Animated Hypercube (Format:Ro)
• Format:En icon Rudy Rucker and Farideh Dormishian's Hypercube Downloads