Asemănarea matricilor

În algebra liniară despre două matrici Format:Mvar Format:Mvar și Format:Mvar se spune că sunt asemenea dacă există o matrice Format:Mvar inversabilă astfel încât

$B=P^{-1}AP.$

Matricile asemenea reprezintă aceeași aplicație liniară în două (posibile) baze diferite, Format:Mvar fiind matricea de Format:Ill-wd.

O transformare Format:Math se numește transformare de asemănare sau Format:Ill-wd matricei Format:Mvar. În Format:Ill-wd, asemănarea este aceeași cu conjugarea, iar matricile similare sunt numite și conjugate; totuși, într-un subgrup dat Format:Mvar al grupului liniar general, noțiunea de conjugare poate fi mai restrictivă decât cea de similaritate, deoarece necesită ca Format:Mvar să aparțină lui Format:Mvar.

Exemplu

La definirea unei transformări liniare se poate întâmpla ca o schimbare a bazei să aibă ca rezultat o formă mai simplă a aceleiași transformări. De exemplu, matricea care reprezintă o rotație în Format:Math când Format:Ill-wd nu este aliniată cu axele de coordonate poate fi greu de calculat. Dacă axa de rotație ar fi aliniată cu axa pozitivă Format:Mvar, atunci ar fi simplu:

$S=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

unde $\theta$ este unghiul de rotație. În noul sistem de coordonate, transformarea s-ar scrie:

$y^{\prime }=S{x}^{\prime },$

unde Format:Mvar și Format:Mvar sunt vectorii inițiali, respectiv transformați, într-o bază nouă care conține un vector paralel cu axa de rotație. În baza inițială, transformarea s-ar scrie:

$y=Tx,$

unde vectorii Format:Mvar, Format:Mvar și matricea de transformare necunoscută Format:Mvar sunt în baza inițială. Pentru a scrie Format:Mvar în termenii matricei mai simple, se folosește matricea de schimbare a bazei Format:Mvar care transformă Format:Mvar și Format:Mvar în $x^{\prime }=Px$ și $y^{\prime }=Py$:

$\begin{array}{cccc}& & y^{\prime }& =S{x}^{\prime }\\ & \Rightarrow & Py& =SPx\\ & \Rightarrow & y& =\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{array}$

Astfel, matricea din baza inițială, $T$, este dată de $T=P^{-1}SP$. Se constată că transformarea din baza inițială este produsul a trei matrici ușor de obținut. De fapt, transformarea de asemănare operează în trei pași: schimbarea la o nouă bază (Format:Mvar), efectuarea unei transformări simple (Format:Mvar) și schimbarea înapoi la vechea bază (Format:Mvar⁻¹).

Proprietăți

Asemănarea este o relație de echivalență pe spațiul matricilor pătrate.

Deoarece matricile sunt asemenea dacă și numai dacă reprezintă același operator liniar în raport cu (eventual) baze diferite, matricile asemenea au toate proprietățile operatorului lor subiacent comun:

• Rang
• Format:Ill-wd și atributele care pot deriva din acesta:
  • Determinant
  • Urmă
  • Valori proprii și multiplicitățile algebrice
• Multiplicitățile geometrice ale valorilor proprii (dar nu și spațiile proprii, care sunt transformate conform matricei de schimbare a bazei Format:Mvar utilizată).
• Polinom minimal
• Format:Ill-wd
• Format:Ill-wd, până la o permutare a blocurilor Jordan
• Format:Ill-wd
• Divizori elementari, care formează un set complet de invarianți pentru asemănarea matricilor pe un inel principal

Din această cauză, pentru o matrice dată Format:Mvar, prezintă interes să fie obținută o „formă normală” simplă Format:Mvar care este asemenea cu Format:Mvar — apoi studiul lui Format:Mvar se reduce la studiul matricei mai simple Format:Mvar. De exemplu Format:Mvar se numește Format:Ill-wd dacă este asemenea cu o matrice diagonală. Nu toate matricile sunt diagonalizabile, dar cel puțin peste numerele complexe (sau orice corp algebric închis), orice matrice este asemenea cu o matrice în formă Jordan. Niciuna dintre aceste forme nu este unică (elementele de pe diagonală sau blocurile Jordan pot fi permutate), așa că nu sunt cu adevărat Format:Ill-wd; mai mult, determinarea lor depinde de a putea factoriza polinomul minimal sau caracteristic al lui Format:Mvar (echivalent pentru a-i găsi valorile proprii). Format:Ill-wd nu are aceste dezavantaje: există peste orice corp, este cu adevărat unică și poate fi calculată folosind numai operații aritmetice din corp; Format:Mvar și Format:Mvar sunt asemenea dacă și numai dacă au aceeași formă canonică rațională. Forma canonică rațională este determinată de divizorii elementari ai lui Format:Mvar; aceștia pot fi citiți imediat într-o matrice de forma Jordan, dar pot fi, de asemenea, determinați direct pentru orice matrice prin calculul Format:Ill-wd, peste inelul de polinoame, a matricei (cu elemente polinomiale) Format:Math (aceeași ale cărei determinant definește polinomul caracteristic). De reținut că această formă normală Smith nu este o formă normală a lui Format:Mvar în sine; mai mult decât atât, nu se aseamănă nici cu Format:Math, dar se obține din aceasta din urmă prin înmulțiri la stânga și la dreapta cu diferite matrici inversabile (cu elemente polinomiale).

Asemănarea matricilor nu depinde de corpul de bază: dacă Format:Mvar este un corp care conține pe Format:Mvar drept subcorp, iar Format:Mvar și Format:Mvar sunt două matrici peste Format:Mvar, atunci Format:Mvar și Format:Mvar sunt asemenea cu matricile peste Format:Mvar dacă și numai dacă sunt asemenea cu matricile peste Format:Mvar. Acest lucru se datorează faptului că forma canonică rațională peste Format:Mvar este și forma canonică rațională peste Format:Mvar. Aceasta înseamnă că se pot folosi forme Jordan care există doar peste un corp mai mare pentru a determina dacă matricile date sunt asemenea.

În definiția asemănării, dacă matricea Format:Mvar poate fi aleasă ca matrice de permutare, atunci Format:Mvar și Format:Mvar sunt asemenea cu permutarea; Format:Mvar poate fi aleasă să fie o matrice unitate, atunci Format:Mvar și Format:Mvar sunt echivalente unitar. Format:Ill-wd spune că orice Format:Ill-wd este echivalentă unitar cu o matrice diagonală. Teorema lui Specht afirmă că două matrici sunt echivalente unitar dacă și numai dacă îndeplinesc anumite egalități ale urmelor.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. Format:Isbn. (Similarity is discussed many places, starting at page 44.)