Vector de coordonate

În algebra liniară, un vector de coordonate este o reprezentare a unui vector ca o listă ordonată de numere (un Format:Ill-wd) care descrie vectorul în termenii unei anumite baze ordonate. Un exemplu simplu poate fi o poziție, cum ar fi (5, 2, 1), într-un sistem de coordonate cartezian tridimensional cu baza ca axe ale acestui sistem. Coordonatele sunt întotdeauna specificate în raport cu o bază ordonată. Bazele și reprezentările coordonatelor asociate acestora permit realizarea de spații vectoriale și transformări liniare concrete ca vectori linie, vectori coloană și matrici; prin urmare, sunt utile în calcule.

Ideea unui vector de coordonate poate fi folosită și pentru spații vectoriale infinit-dimensionale, așa cum se descrie mai jos.

Definiție

Fie Format:Mvar un spațiu vectorial de dimensiune n peste un corp Format:Mvar și fie

$B=\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}$

o bază ordonată a lui Format:Mvar. Atunci pentru orice $v\in V$ există o Format:Ill-wd unică a acestor vectori ai bazei care este egală cu $v$:

$v={\alpha }_1{b}_1+{\alpha }_2{b}_2+\cdots +{\alpha }_n{b}_n.$

Vectorul de coordonate al lui $v$ relativ la Format:Mvar este șirul de coordonate

$[v{]}_B=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n).$

Aceasta mai este numită și „reprezentarea lui $v$ în raport cu Format:Mvar” sau „reprezentarea în Format:Mvar a lui $v$”. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ sunt numite „coordonatele lui $v$”. Ordinea bazei devine importantă aici, deoarece determină ordinea în care sunt listați coeficienții în vectorul de coordonate.

Vectorii de coordonate ai spațiilor vectoriale cu dimensiuni finite pot fi reprezentați prin matrici ca vectori coloană sau vectori linie. Cu notațiile de mai sus, se poate scrie

$[v{]}_B=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right]$

și

$[v{]}_B^T=\left[\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n\end{array}\right]$

unde $[v{]}_B^T$ este transpusa matricei $[v{]}_B$.

Reprezentarea standard

Se poate automatiza transformarea de mai sus prin definirea unei funcții ${\varphi }_B$, numită „reprezentarea standard a lui Format:Mvar față de Format:Mvar”, care asociază fiecare vector cu reprezentarea sa de coordonate: ${\varphi }_B(v)=[v{]}_B$. Atunci ${\varphi }_B$ este o transformare liniară de la Format:Mvar la Format:Mvarⁿ. De fapt, este un izomorfism, iar inversa ${\varphi }_B^{-1}:F^n\to V$ este, simplu,

${\varphi }_B^{-1}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)={\alpha }_1{b}_1+\cdots +{\alpha }_n{b}_n.$

Alternativ, s-ar fi putut defini ${\varphi }_B^{-1}$ ca fiind funcția de mai sus de la început, s-ar fi văzut că ${\varphi }_B^{-1}$ este un izomorfism și s-ar fi definit ${\varphi }_B$ ca fiind inversa sa.

Exemplu

Fie P3 spațiul tuturor polinoamelor algebrice de gradul cel mult 3 (adică cel mai mare exponent al lui Format:Mvar poate fi 3). Acest spațiu este liniar și este acoperit de următoarele polinoame:

$B_P=\{1,x,x^2,x^3\}$

care corespund la

$1:=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right];x:=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right];x^2:=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right];x^3:=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

Atunci vectorul de coordonate corespunzător polinomului

$p\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3$

este

$\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right].$

Conform acestei reprezentări, Format:Ill-wd d/dx notat în continuare cu D va fi reprezentat de următoarea matrice:

$Dp(x)=P^{\prime }(x);[D]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Folosind această metodă, este ușor de explorat proprietățile operatorului, cum ar fi: inversabilitate, hermitian sau antihermitian sau niciunul, spectru, valori proprii și altele.

Matrice de transformare a bazei

Fie Format:Mvar și Format:Mvar două baze diferite ale unui spațiu vectorial Format:Mvar și se notează cu $[M{]}_C^B$ matricea care are coloanele formate din reprezentarea Format:Mvar a vectorilor bazei b₁, b₂, …, b_n:

$[M{]}_C^B=\left[\begin{array}{ccc}[b_1{]}_C& \cdots & [b_n{]}_C\end{array}\right]$

Această matrice este denumită matricea de trecere a bazei de la Format:Mvar la Format:Mvar. Poate fi privită ca un automorfism peste $F^n.$ Orice vector Format:Mvar reprezentat în Format:Mvar poate fi transformat într-o reprezentare în Format:Mvar după cum urmează:

$[v{]}_C=[M{]}_C^B[v{]}_B.$

La transformarea bazei, se observă că indicele de pe matricea de transformare, Format:Mvar și indicele de pe vectorul de coordonate Format:Mvar sunt aceiași și, aparent, se anulează, lăsând indicele rămas. Deși acest lucru poate servi ca ajutor la memorare, este important de reținut că nu are loc o astfel de anulare sau o operație matematică similară.

Corolar

Fie Format:Mvar o matrice inversabilă, iar Format:Mvar⁻¹ matricea de trecere de la baza Format:Mvar la Format:Mvar. Atunci

$\begin{array}{cc}\mathrm{Id}& =[M{]}_C^B[M{]}_B^C=[M{]}_C^C\\ & =[M{]}_B^C[M{]}_C^B=[M{]}_B^B\end{array}$

Spații vectoriale infinit-dimensionale

Fie Format:Mvar un spațiu vectorial infinit-dimensional peste un corp Format:Mvar. Dacă dimensiunea este Format:Mvar, atunci există o bază de elemente Format:Mvar pentru Format:Mvar. După ce ordinea este aleasă, baza poate fi considerată o bază ordonată. Elementele lui Format:Mvar sunt combinații liniare finite de elemente din bază, care dau reprezentări unice de coordonate exact așa cum s-a descris mai sus. Singura modificare este că mulțimea indecșilor pentru coordonate nu este finită. Deoarece un vector dat Format:Mvar este o combinație liniară finită de elemente din bază, singurele elemente nenule ale vectorului de coordonate vor fi coeficienții nenuli ai combinației liniare care reprezintă Format:Mvar. Astfel, vectorul de coordonate pentru Format:Mvar are elementele nule, cu excepția unui număr finit de elemente.

Transformările liniare între spații vectoriale (posibil) infinit-dimensionale pot fi modelate, analog cazului finit-dimensional, cu matrici infinite. Cazul particular al transformărilor din Format:Mvar în Format:Mvar este descris de noțiunea de inel complet liniar.