Grup ortogonal

În matematică, grupul ortogonal în Format:Math dimensiuni, notat Format:Math, este grupul de transformări de conservare a distanței a spațiului euclidian de dimensiune Format:Math și a unui punct fix, originea. Legea de compoziție a grupului este dată de compunerea aplicațiilor (funcțiilor). Grupul ortogonal este uneori numit grup ortogonal general, prin analogie cu grupul liniar general. În mod echivalent, este grupul de Format:Math matrice ortogonale, unde legea de compoziție este dată de Înmulțirea matricilor (o matrice ortogonală este o matrice reală a cărei inversă este egală cu transpusa sa). Grupul ortogonal este atât un grup algebric cât și un grup Lie. Este grup compact.

Grupul ortogonal în Format:Math dimensiuni are două componente conectate. Componenta care conține elementul neutru este un subgrup, numit grup ortogonal special, și notat Format:Math. Se compune din toate matricile ortogonale cu determinantul Format:Math. Acest grup este, de asemenea, numit grup de rotație, generalizând faptul că în dimensiunile 2 și 3, elementele sale sunt rotații obișnuite în jurul unui punct (în bidimensional) sau drepte (în tridimensional). În dimensiunile inferioare aceste grupuri au fost studiate pe scară largă, a se vedea Format:Math, Format:Math și Format:Math. În cealaltă componentă conectată, toate matricile ortogonale au ca determinant Format:Math.

Prin extensie, pentru orice domeniu Format:Mvar, o matrice Format:Math cu valori din Format:Mvar astfel încât inversa sa să fie egală cu transpusa sa se numește matrice ortogonală pe Format:Mvar. Matricele ortogonale Format:Math formează un subgrup, notat Format:Math, al grupului liniar general Format:Math; adică

$\mathrm{O}(n,F)=\{Q\in \mathrm{GL}(n,F)\mid Q^{𝖳}Q=Q{Q}^{𝖳}=I\}.$

Mai general, având în vedere forma biliniară simetrică sau forma pătratică nedegenerată — pentru corpurile de bază cu caracteristica diferită de 2, definiția în termenii formei biliniare simetrice este echivalentă cu cea în termenii formei pătratice, dar în cazul caracteristicii 2 aceste noțiuni diferă — pe un spațiu vectorial peste un corp, grupul ortogonal al formei este grupul de aplicații liniare inversabile care conservă forma. Grupurile ortogonale precedente sunt cazul particular în care, într-o anumită bază, forma biliniară este produsul scalar, sau, în mod echivalent, forma pătratică este suma pătratelor coordonatelor.

Toate grupurile ortogonale sunt grupuri algebrice, întrucât condiția păstrării unei forme poate fi exprimată drept o egalitate a matricilor.

Nume

Denumirea de „grup ortogonal” provine din următoarea caracterizare a elementelor sale. Dat fiind un spațiu vectorial euclidian Format:Mvar din dimensiunea Format:Mvar, elementele grupului ortogonal Format:Math sunt, până la o scalare uniformă (omotetie), aplicații liniare de la Format:Mvar la Format:Mvar care transformă vectori ortogonali în vectori ortogonali.

În geometria euclidiană

Grupul ortogonal Format:Math este un subgrup al grupului liniar general Format:Math, constând din toate endomorfismele care conservă norma euclidiană, adică endomorfismele Format:Mvar astfel încât $\Vert g(x)\Vert =\Vert x\Vert$.

Fie Format:Math grupul izometriilor euclidiene a spațiului euclidian Format:Mvar de dimensiune Format:Math. Acest grup nu depinde de alegerea unui anumit spațiu, deoarece toate spațiile euclidiene din aceeași dimensiune sunt izomorfe. Subgrupul stabilizator al unui punct Format:Math este subgrupul elementelor Format:Math astfel încât Format:Math. Acest stabilizator este (sau, mai exact, este izomorf cu) Format:Math, deoarece alegerea unui punct ca origine creează un izomorfism între spațiul euclidian și spațiul său vectorial euclidian asociat.

Acesta este un omomorfism de grup natural Format:Mvar al Format:Math cu Format:Math, care este definit de

$p(g)\cdot (y-x)=g(y)-g(x),$

unde, ca de obicei, scăderea a două puncte este vectorul translație care aplică al doilea punct pe primul. Acesta este un omomorfism bine definit, deoarece o verificare simplă arată că, dacă două perechi de puncte au aceeași diferență, același lucru este valabil și pentru transformatele lor de Format:Mvar

Nucleul lui Format:Mvar este spațiul vectorial al translațiilor. Deci, translația formează un subgrup normal în Format:Math, stabilizatorii a două puncte sunt conjugați față de translații și toți stabilizatorii sunt izomorfi în Format:Math.

Mai mult, grupul euclidian este un produs semidirect dintre Format:Math și grupul de translații. Rezultă că studiul grupului euclidian este în esență redus la studiul lui Format:Math.

Format:Math

Prin alegerea unei baze ortonormale a unui spațiu vectorial euclidian, grupul ortogonal poate fi identificat cu grupul (cu legea de compoziție înmulțirea matricelor) matricelor ortogonale, care sunt acele matrice la care

$Q{Q}^{𝖳}=I.$

Din această ecuație rezultă că pătratul determinantului lui Format:Mvar este Format:Math, prin urmare determinantul lui Format:Mvar este sau Format:Math, sau Format:Math. Matricele ortogonale cu determinantul Format:Math formează un subgrup numit grupul ortogonal special, notat Format:Math, care cuprinde toate izometriile directe ale Format:Math, care sunt cele care conservă orientarea spațiului.

Format:Math este un subgrup normal al Format:Math, ca fiind nucleul determinantului, care este un omomorfism de grup a cărui imagine este grupul multiplicativ Format:Math}. Mai mult, grupul ortogonal este un produs semidirect al Format:Math cu grupul cu două elemente, deoarece, având în vedere orice reflexie Format:Mvar, există relația Format:Math.

Grupul cu două elemente Format:Math} (unde Format:Mvar este matricea unitate) este un subgrup normal și chiar un subgrup caracteristic al Format:Math și, dacă Format:Math este par, și al Format:Math. Dacă Format:Math este impar, Format:Math este produsul direct al Format:Math și Format:Math}. Pentru fiecare număr întreg pozitiv Format:Math grupul ciclic Format:Math de [[simetrie de rotație |Format:Math-rotații]] este un subgrup normal al Format:Math și Format:Math.

Forma canonică

Pentru orice element din Format:Math există o bază ortogonală în care matricea sa are forma

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}{R}_1& & \\ & \ddots & \\ & & R_k\end{array}& 0\\ 0& \begin{array}{ccc}\pm 1& & \\ & \ddots & \\ & & \pm 1\end{array}\end{array}\right],$

unde matricele Format:Math sunt matrice de rotații 2 × 2, adică matrice de forma

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right],$

cu $a^2+b^2=1$.

Acest lucru rezultă din teorema spectrală prin regruparea valorilor proprii care sunt conjugate complex și luând în considerare faptul că valorile absolute ale valorilor proprii ale unei matrice ortogonale sunt toate egale cu 1.

Elementul aparține lui Format:Math dacă și numai dacă există un număr par de Format:Math pe diagonală.

Cazul particular al Format:Math este cunoscut sub numele de teorema de rotație Euler, care afirmă că fiecare element (neegal cu unitatea) din Format:Math este o rotație în jurul unei axe definite în mod unic.

Reflexii

Reflexiile sunt elemente din Format:Math a căror formă canonică este

$\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& I\end{array}\right],$

unde Format:Mvar este matricea unitate Format:Math, iar zerourile indică elementele nule din linii și coloane. Cu alte cuvinte, o reflexie este o transformare care transformă spațiul în imaginea sa în oglindă față de un hiperplan.

În bidimensional, fiecare rotație este produsul a două reflexii. Mai exact, o rotație cu unghiul $\theta$ este produsul a două reflexii ale căror axe au un unghi de $\theta /2$.

Fiecare element din Format:Math este produsul a cel mult Format:Mvar reflexii. Acest lucru rezultă imediat din forma canonică de mai sus și din bidimensionalitate.

Teorema Cartan–Dieudonné este generalizarea acestui rezultat la grupul ortogonal al unei forme pătratice nedegenerate într-un domeniu cu caracteristica diferită de 2.

Reflexia față de origine (aplicația Format:Math) este un exemplu de element al Format:Math care nu este produsul a mai puțin de Format:Mvar reflexii.

Grupul de simetrie al sferelor

Grupul ortogonal Format:Math este grupul de simetrie al unei [[n-sferă |Format:Math-sfere]] (pentru Format:Math, aceasta este doar o sferă) și, dacă originea este aleasă în centru, a tuturor obiectelor cu simetrie sferică.

Grupul de simetrie al unui cerc este Format:Math. Subgrupul care conservă orientarea Format:Math este izomorf (ca grup Lie real) cu grupul cercului, cunoscut ca Format:Math, grupul multiplicativ al numerelor complexe cu valoarea absolută egală cu unu. Acest izomorfism trimite numărul complex Format:Math cu valoarea absolută Format:Math la o matrice ortogonală particulară

$\left[\begin{array}{cc}\cos (\phi )& -\sin (\phi )\\ \sin (\phi )& \cos (\phi )\end{array}\right].$

În dimensiuni superioare, Format:Math are o structură mai complicată (în special, nu mai este comutativă). Structurile topologice ale Format:Mvar-sferei și Format:Math sunt puternic corelate, iar această corelație este utilizată pe scară largă pentru studierea ambelor spații topologice.

Structura grupului

Grupurile Format:Math și Format:Math sunt grupuri Lie reale compacte în dimensiunea Format:Math. Grupul Format:Math are două componente conectate, Format:Math fiind elementul neutru, adică componenta conectată care conține matricea unitate.

Ca grupuri algebrice

Grupul ortogonal Format:Math poate fi identificat cu grupul matricilor Format:Mvar astfel încât $A^{𝖳}A=I.$ Deoarece ambii membri ai acestei ecuații sunt matrici simetrice, aceasta generează $\frac{n(n+1)}{2}$ ecuații pe care trebuie să le satisfacă intrările unei matrici ortogonale și care nu sunt toate satisfăcute de intrările unei matrice neortogonale oarecare.

Asta demonstrează că Format:Math este o varietate algebrică. Mai mult, se poate arăta că dimensiunea sa este

$\frac{n(n-1)}{2}=n^2-\frac{n(n+1)}{2},$

care implică faptul că Format:Math este o intersecție completă. Aceasta implică faptul că toate componentele sale ireductibile au aceeași dimensiune și că nu are componente prime asociate ideale.

De fapt, Format:Math are două componente ireductibile, care se disting prin semnul determinantului (adică Format:Math și Format:Math). Ambele sunt varietăți algebrice nesingulare de aceeași dimensiune Format:Math. Componenta cu Format:Math este Format:Math.

Toruri maximale și grupuri Weyl

Într-un grup Lie compact, G, un tor maximal este un subgrup maximal dintre cele care sunt izomorfe cu Format:Math pentru unele Format:Mvar, unde Format:Math este torul unidimensional standard.

În Format:Math și Format:Math, pentru fiecare tor maxim există o bază pe care torul constă din matrice bandă diagonale de forma

$\left[\begin{array}{ccc}{R}_1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & R_n\end{array}\right],$

unde fiecare Format:Math aparține lui Format:Math. În Format:Math și Format:Math, torurile maximale au aceeași formă, mărginită de un rând și o coloană de zerouri, și având 1 pe diagonală.

Grupul Weyl al Format:Math este produsul semidirect $\{\pm 1{\}}^n⋊S_n$ al unui 2-subgrup abelian elementar cu un grup simetric, unde elementele netriviale ale fiecărui Format:Math} factor al Format:Math acționează asupra factorului corespunzător din Format:Math} prin înmulțire cu elementul invers, iar grupul simetric Format:Math acționează asupra ambelor Format:Math și Format:Math} prin permutarea factorilor. Elementele grupului Weyl sunt reprezentate prin matrice în Format:Math}. Factorul Format:Math este reprezentat de permutarea blocurilor matriceale 2 × 2, cu 1 la sfârșitul diagonalei. Componenta Format:Math este reprezentată de blocurile de matrice 2 × 2 de pe diagonală, fiecare fiind

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\text{sau}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],$

cu ultima componentă Format:Math aleasă astfel încât determinantul să fie 1.

Grupul Weyl al Format:Math este subgrupul $H_{n-1}⋊S_n<\{\pm 1{\}}^n⋊S_n$ din acel Format:Math, unde Format:Math este nucleul omomorfismul produsului Format:Math} dat de $({ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_n)\mapsto {ϵ}_1\cdots {ϵ}_n$; adică Format:Math este subgrupul cu un număr par de semne minus. Grupul Weyl al Format:Math este reprezentat în Format:Math de preimaginile dintr-o injecție standard Format:Math a reprezentărilor grupului Weyl al Format:Math. Aceste matrice cu un număr impar de blocuri $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ nu au un rest final de coordonate Format:Math pentru a-și face determinanții pozitivi, ca urmare nu pot fi reprezentate în Format:Math.

Bibliografie

• Format:Citation

Lectură suplimentară

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation

Legături externe

• Format:En icon Format:Springer
• Format:En icon John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105
• Format:En icon John Baez on Octonions
• Format:It icon n-dimensional Special Orthogonal Group parametrization