Trisectoarea lui Maclaurin

Trisectoarea lui Maclaurin ca loc geometric al intersecției a două drepte care se rotesc

În geometria algebrică trisectoarea lui Maclaurin este o curbă plană cubică notabilă pentru proprietatea sa de a diviza în trei, ceea ce înseamnă că poate fi folosită pentru trisecțiunea unui unghi. Poate fi definită ca locul geometric al punctului de Format:Ill-wd, fiecare rotindu-se cu o viteză unghiulară uniformă în jurul punctelor lor fixe, separate, astfel încât raportul vitezelor de rotație să fie 1:3 iar dreptele coincid inițial cu dreapta care trece prin cele două puncte. O generalizare a acestei construcții se numește curbă divizoare a lui Maclaurin. Curba poartă numele lui Colin Maclaurin care a studiat curba în 1742.

Ecuații

Fie două drepte care se rotesc în jurul punctelor $P=(0,0)$ și $P_1=(a,0)$ astfel încât, atunci când dreapta care se rotește în jurul punctului său fix $P$ formează cu axa Ox unghiul $\theta$, iar dreapta care se rotește în jurul punctului său fix $P_1$ formează cu axa Ox unghiul $3\theta$. Dacă Format:Mvar este punctul de intersecție al dreptelor, atunci unghiul format de drepte în Format:Mvar este $2\theta$. Din teorema sinusurilor,

$\frac{r}{\sin 3\theta }=\frac{a}{\sin 2\theta }$

rezultă ecuația în coordonate polare, care este (fără ca axele să fie translate sau rotite)

$r=a\frac{\sin 3\theta }{\sin 2\theta }=\frac{a}{2}\frac{4{\cos }^2\theta -1}{\cos \theta }=\frac{a}{2}(4\cos \theta -\sec \theta )$.

Prin urmare, curba este un membru al familiei de concoide ale lui de Sluze.

În coordonate carteziene ecuația acestei curbe este

$2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2)$.

Dacă originea este mutată în (Format:Mvar, Format:Math), atunci un raționament similar cu cel de mai sus arată că ecuația curbei în coordonate polare devine

$r=2a\cos \frac{\theta }{3},$

fiind un exemplu de „melc” cu o buclă.

Proprietatea de a fi o trisectoare

Trisectoarea lui Maclaurin demonstrând proprietatea de a trisecta unghiurile

Din punctul $(a,0)$ se trasează o dreaptă care formează cu axa Format:Mvar unghiul $\varphi$. Din origine se trasează o dreaptă prin punctul unde dreapta precedentă intersectează curba. Atunci, prin construcția curbei, unghiul dintre a doua dreaptă și axa Format:Mvar este $\varphi /3$.

Puncte și caracteristici notabile

Curba are o intersecție cu axa Ox în $\frac{3a}{2}$ și un punct dublu în origine. Dreapta verticală $x=-\frac{a}{2}$ este o asimptotă. Curba intersectează dreapta Format:Mvar sau punctul corespunzător trisecțiunii unui unghi drept, în $(a,\pm \frac{1}{\sqrt{3}}a)$. Ca o cubică nodală, este de genul zero.

Relația cu alte curbe

Trisectoarea lui Maclaurin poate fi definită cu ajutorul conicelor în trei moduri.

• Este inversa față de cercul unitate al hiperbolei

$2x=a(3x^2-y^2)$.

• Este cisoida cercului

$(x+a{)}^2+y^2=a^2$

și a dreptei $x=\frac{a}{2}$ față de origine.

• Este podara față de origine a parabolei

$y^2=2a(x-\frac{3}{2}a)$.

În plus:

• Inversa față de punctul $(a,0)$ este melcul lui Pascal.
• Este legată de foliul lui Descartes printr-o Format:Ill-wd.

Legături externe

• Format:Commonscat-inline
• Format:En icon Loy, Jim "Trisection of an Angle", Part VI