Teorema sinusurilor

În geometrie, teorema sinusurilor este o teoremă care stabilește relația dintre valorile laturilor unui triunghi și sinusurile unghiurilor dintre ele.

Enunț

Dacă laturile unui triunghi au lungimile $a$, $b$ și $c$, iar unghiurile care se opun acestora sunt $A$, $B$ și $C$, atunci:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R=\frac{a\cdot b\cdot c}{2S}$

unde R este raza cercului circumscris triunghiului, iar S aria triunghiului.

Demonstrație

Construim cercul circumscris triunghiului $ABC$, la fel ca în figura alăturată.

Conform teoremei unghiului la centru,

$BAC=\frac{BOC}{2}$

Pe de altă parte, triunghiul $OBC$ este triunghi isoscel cu vârful în O, deci înălțimea OA' este și mediană și bisectoare. Rezultă că

$BO{A}^{\prime }=\frac{BOC}{2}=BAC$

Deoarece triunghiul $OB{A}^{\prime }$ este triunghi dreptunghic cu vârful în A',

$\sin (BO{A}^{\prime })=\frac{a}{2R}$

de unde rezultă că $\sin (A)=\frac{a}{2R}=BAC$. Printr-un raționament similar, rezultă că și sinusurile unghiurilor B și C iau aceeași valoare.