Trapez circumscriptibil

Trapez circumscriptibil

În geometria euclidiană un trapez circumscriptibil este un trapez ale cărui patru laturi sunt toate tangente la cercul înscris în trapez. Este cazul particular al unui patrulater circumscriptibil în care o pereche de laturi opuse sunt paralele. Ca și în cazul altor trapeze, laturile paralele sunt numite baze. Laturile neparalele pot fi egale (la trapezele circumscriptibile isoscele), dar nu este obligatoriu să fie.

Caracteristici

Dacă cercul este tangent la laturile Format:Mvar și Format:Mvar în Format:Mvar și, respectiv, în Format:Mvar, atunci un patrulater circumscriptibil Format:Mvar este un trapez cu laturile paralele Format:Mvar și Format:Mvar dacă și numai dacăFormat:Rp

$AW\cdot DY=BW\cdot CY$

iar Format:Mvar și Format:Mvar sunt laturile paralele ale trapezului dacă și numai dacă

$AW\cdot BW=CY\cdot DY.$

Arie

Expresia ariei unui trapez poate fi simplificată folosind teorema lui Pitot pentru a o aplica unui trapez circumscriptibil. Dacă bazele au lungimile Format:Mvar și Format:Mvar, iar oricare dintre celelalte două laturi au lungimea Format:Mvar, atunci aria Format:Mvar este dată de formula (valabilă doar dacă bazele sunt paralele, dar trapezul satisface cerința)

$K=\frac{a+b}{|b-a|}\sqrt{ab(a-c)(c-b)}.$

Aria poate fi calculată în funcție de lungimile tangentelor Format:Mvar cu formulaFormat:Rp

$K=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h).$

Raza cercului înscris

Cu aceleași notații de la arie, raza cercului înscris este

$r=\frac{K}{a+b}=\frac{\sqrt{ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}.$

Raza cercului înscris poate fi calculată și în funcție de lungimile tangentelorFormat:Rp,

$r=\sqrt[4]{efgh}$

unde Format:Mvar sunt lungimile segmentelor dintre vârfurile Format:Mvar și punctele de tangență.

Dacă bazele sunt Format:Mvar și Format:Mvar, atunci raza cercului înscris poate fi calculată și cu formula

$r=\sqrt{eh}=\sqrt{fg}.$

Diametrul cercului înscris este egal cu înălțimea trapezului (circumscriptibil).

Proprietățile centrului cercului înscris

Dacă cercul este tangent la baze în punctele Format:Mvar și Format:Mvar, atunci Format:Mvar și Format:Mvar, unde Format:Mvar este centrului cercului înscris, sunt coliniare.

În trapezul circumscriptibil Format:Mvar cu bazele Format:Mvar și Format:Mvar unghiurile Format:Mvar și Format:Mvar sunt unghiuri drepte.

Alte proprietăți

Segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele (bimediana) are lungimea egală cu un sfert din perimetrul trapezului. De asemenea, este egal cu jumătate din suma bazelor, ca în toate trapezele.

Dacă se trasează două cercuri, fiecare cu un diametru care coincide cu laturile neparalele ale trapezului circumscriptibil, atunci aceste două cercuri sunt tangente unul la celălalt.

Trapez dreptunghic circumscriptibil

Trapez dreptunghic circumscriptibil

Un trapez dreptunghic circumscriptibil este un trapez circumscriptibil în care două unghiuri adiacente sunt unghiuri drepte. Dacă bazele au lungimile a și b, atunci raza cercului înscris este

$r=\frac{ab}{a+b}.$

Deci diametrul cercului înscris este media armonică a bazelor.

Aria trapezului dreptunghic circumscriptibil este

$K=ab$

iar perimetrul său este

$P=2(a+b).$

Trapez isoscel circumscriptibil

Orice trapez isoscel circumscriptibil este un patrulater bicentric

Un trapez isoscel circumscriptibil este un trapez circumscriptibil în care laturile neparalele sunt egale. Deoarece un trapez isoscel este și un patrulater inscriptibil, un trapez isoscel circumscriptibil este un patrulater bicentric. Adică are atât un cerc înscris, cât și un cerc circumscris.

Dacă bazele sunt Format:Mvar și Format:Mvar, atunci raza cercului înscris este

$r=\frac{1}{2}\sqrt{ab}.$

Obținerea acestei formule a fost o simplă problemă Sangaku din Japonia. Din teorema lui Pitot rezultă că lungimea unei laturi neparalele este jumătate din suma lungimilor bazelor. Deoarece diametrul cercului înscris este rădăcina pătrată a produsului bazelor, un trapez isoscel circumscriptibil oferă o interpretare geometrică frumoasă a mediei aritmetice și mediei geometrice a bazelor ca lungimea unei laturi care nu este o bază și respectiv diametrul cercului înscris (înălțimea trapezului, distanța dintre baze).

Aria K a unui trapez isoscel circumscriptibil cu bazele Format:Mvar și Format:Mvar este dată de

$K=\frac{1}{2}\sqrt{ab}(a+b).$