Patrulater inscriptibil

În geometria euclidiană un patrulater inscriptibil^[1]^[2]^[3] sau patrulater înscris^[4] este un patrulater ale cărui vârfuri se află toate pe un singur cerc.^[4] Acest cerc se numește cerc circumscris. De obicei se presupune că patrulaterul este convex, dar există și patrulatere inscriptibile autointersectate. Formulele și proprietățile prezentate mai jos sunt valabile în cazul convex.

Toate triunghiurile au un cerc circumscris, dar nu toate patrulaterele au unul. Un exemplu de patrulater care nu este inscriptibil este un romb care nu este și pătrat.

Cazuri particulare

Orice pătrat, dreptunghi, trapez isoscel sau antiparalelogram este inscriptibil. Un romboid este inscriptibil dacă și numai dacă are două unghiuri drepte. Un patrulater bicentric este un patrulater inscriptibil, fiind atât circumscriptibil, cât și exscriptibil. Un patrulater armonic este un patrulater inscriptibil în care produsele lungimilor laturilor opuse sunt egale.

Caracteristici

Centrul cercului circumscris

Un patrulater convex este inscriptibil dacă și numai dacă cele patru mediatoare ale laturilor sunt concurente. Acest punct comun este centrul cercului circumscris.^[5]

Unghiuri suplementare

Un patrulater convex Format:Mvar este inscriptibil dacă și numai dacă unghiurile sale opuse sunt suplementare, adică^[5]^[6]

α + γ = β + δ = π radiani (= 18 0^{\circ}) .

Teorema directă a fost Propoziția 22 din Cartea a 3-a din Elementele lui Euclid.^[7] Echivalent, un patrulater convex este inscriptibil dacă și numai dacă fiecare unghi exterior este egal cu unghiul interior opus.

În 1836 Duncan Gregory a generalizat acest rezultat după cum urmează: pentru orice 2n-gon inscriptibil convex, cele două sume ale unghiurilor interioare alternate sunt fiecare egală cu (Format:Mvar − 1)Format:Mvar.^[8] Considerînd proiecția stereografică (tangenta jumătății de unghi) a fiecărui unghi, aceasta poate fi exprimat ca

\frac{\tan \frac{α}{2} + \tan \frac{γ}{2}}{1 - \tan \frac{α}{2} \tan \frac{γ}{2}} = \frac{\tan \frac{β}{2} + \tan \frac{δ}{2}}{1 - \tan \frac{β}{2} \tan \frac{δ}{2}} = \infty .

Ceea ce implică^[9]

\tan \frac{α}{2} \tan \frac{γ}{2} = \tan \frac{β}{2} \tan \frac{δ}{2} = 1

Unghiuri dintre laturi și diagonale

Un patrulater convex Format:Mvar este inscriptibil dacă și numai dacă un unghi dintre o latură și o diagonală este egal cu unghiul dintre latura opusă și cealaltă diagonală.^[10] Adică, de exemplu,

∠ A C B = ∠ A D B .

Intersecția diagonalelor

Dacă două drepte, una care conține segmentul Format:Mvar și cealaltă care conține segmentul Format:Mvar, se intersectează în Format:Mvar, atunci cele patru puncte Format:Mvar sunt pe acelați cerc dacă și numai dacă^[11]

A P \cdot P C = B P \cdot P D .

Intersecția Format:Mvar poate fi internă sau externă cercului. În primul caz, patrulaterul inscriptibil este Format:Mvar, iar în al doilea caz patrulaterul inscriptibil este Format:Mvar. Când intersecția este internă, egalitatea afirmă că produsul lungimii segmentelor în care Format:Mvar împarte o diagonală este egal cu cel al celeilalte diagonale. Aceasta este cunoscută sub denumirea de teorema coardelor concurente, deoarece diagonalele patrulaterului inscriptibil sunt coarde ale cercului circumscris.

Teorema Ptolemeu

Teorema lui Ptolemeu exprimă produsul lungimilor celor două diagonale Format:Mvar și Format:Mvar ale unui patrulater inscriptibil ca sumă a produselor laturilor opuse:^[12]Format:Rp^[6]

e f = a c + b d,

unde Format:Mvar sunt lungimile laturilor, în ordine. Inversa acestei teoreme este și ea adevărată. Adică, dacă această ecuație este îndeplinită într-un patrulater convex, atunci patrulaterul este inscriptibil.

Aria

Aria Format:Mvar a unui patrulater inscriptibil cu laturile Format:Mvar este dată de formula lui Brahmagupta^[12]Format:Rp

K = \sqrt{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)}

unde Format:Mvar este semiperimetrul: $s = \frac{1}{2} (a + b + c + d)$ . Acesta este un corolar al formulei lui Bretschneider pentru patrulaterul general, deoarece în cazul patrulaterului inscriptibil unghiurile opuse sunt suplementare. Iar dacă Format:Mvar = 0, patrulaterul inscriptibil devine un triunghi iar formula se reduce la formula lui Heron.

Aria unui patrulater inscriptibil având unghiul Format:Mvar între laturile Format:Mvar și Format:Mvar se poate calcula cu^[12]Format:Rp

K = \frac{1}{2} (a b + c d) \sin B .

Diagonale

Într-un patrulater inscriptibil lungimea diagonalelor Format:Mvar și Format:Mvar se poate exprima în funcție de lungimile laturilor^[12]Format:Rp^[13]^[14]Format:Rp

e = \sqrt{\frac{(a c + b d) (a d + b c)}{a b + c d}}

și

f = \sqrt{\frac{(a c + b d) (a b + c d)}{a d + b c}}

ceea ce duce la teorema lui Ptolemeu ( $p q = a c + b d .$ .)

Conform celei a doua teoreme a lui Ptolemeu,^[12]Format:Rp^[13]

\frac{p}{q} = \frac{a d + b c}{a b + c d} .

Formule pentru unghiuri

Pentru un patrulater inscriptibil având unghiul Format:Mvar între laturile Format:Mvar și Format:Mvar, valorile funcțiilor trigonometrice pentru Format:Mvar se obțin din^[15]

\cos A = \frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 (a d + b c)},

\sin A = \frac{2 \sqrt{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)}}{(a d + b c)},

\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s - a) (s - d)}{(s - b) (s - c)}} .

Unghiul Format:Mvar dintre diagonale satisface relația^[12]Format:Rp

\tan \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{(s - b) (s - d)}{(s - a) (s - c)}} .

Anticentrul

Se poate demonstra că, într-un patrulater inscriptibil, perpendicularele duse prin mijlocul fiecarei laturi la latura opusă sunt concurente, punctul de concurență fiind cunoscut ca anticentrul patrulaterului sau punctul lui Mathot.^[16]

Mai întâi se va demonstra următoarea propoziție:

Teorema 1. Dacă $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ sunt centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor AEB, BEC, CED și respectiv DEA, atunci:

(a) Patrulaterul

O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}

este paralelogram.

(b) Dacă

Γ

este punctul de intersecție a diagonalelor paralelogramului

O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}

, atunci punctele O, Γ, E sunt coliniare, punctul Γ fiind mijlocul segmentului

[O E]

.

Demonstrație.

(a) Deoarece

O_{1} O_{4}

este mediatoarea segmentului

[A E]

, iar

O_{2} O_{3}

este mediatoarea segmentului

[E C]

, rezultă că

O_{1} O_{4} ⊥ A C, O_{2} O - 3 ⊥ A C

, deci

O_{1} O_{4} ∥ O_{2} O_{3}

. La fel se demonstrează că

O_{1} O_{2} ∥ O_{3} O_{4}

. Deci

O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}

este paralelogram.

(b) Se notează cu F piciorul perpendicularei din E pe AB. Din

m (\hat{F E A}) = 9 0^{o} - m (\hat{B A E}), m (\hat{C E O_{3}}) = 9 0^{o} - m (\hat{C D E}), \hat{B A E} \equiv \hat{C D E}

rezultă că

\hat{F E A} \equiv \hat{C E O_{3}}

. Așadar,

F, E, O_{3}

sunt coliniare, deci

E O_{3} ⊥ A B

, deci

O_{3} E ∥ O O_{1}

; analog se demonstrează

O_{1} E ∥ O O_{3}, O_{4} E ∥ O O_{2}, O_{2} E ∥ O O_{4}

, de unde rezultă că patrulaterele

O_{1} E O_{3} O, O_{2} E O_{4} O

sunt paralelograme. Deci Γ fiind mijlocul segmentului

[O E]

.

Acum se va demonstra următoarea teoremă:

Teorema 2. Se consideră patrulaterul inscriptibil $A B C D$ , înscris în cercul de centru $O$ și fie $E$ intersecția diagonalelor $A C$ și $B D$ și $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ ortocentrele triunghiurilor $A E B, B E C, C E D$ și respectiv $D E A$ . Atunci:

(a) Patrulaterul

H_{1} H_{2} H_{3} H_{4}

este paralelogram;

(b) Intersecția diagonalelor paralelogramului

H_{1} H_{2} H_{3} H_{4}

este chiar punctul Mathot al patrulaterului

A B C D

.

Demonstrație.

(a)

\vec{O A} = \vec{O O_{4}} + \vec{O_{4} A} = \vec{O O_{1}} + \vec{O_{1} A}

și alte trei relații similare pentru

\vec{O B}, \vec{O C}, \vec{O D}

. Prin însumarea acestor patru relații se obține:

2 (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D}) = 2 (\vec{O O_{1}} + \vec{O O_{2}} + \vec{O O_{3}} + \vec{O O_{4}}) + (\vec{O_{1} A} + \vec{O_{1} B} + \vec{O_{1} E}) +

+ (\vec{O_{2} B} + \vec{O_{2} C} + \vec{O_{2} E}) + (\vec{O_{3} C} + \vec{O_{3} D} + \vec{O_{3} E}) + (\vec{O_{4} D} + \vec{O_{4} A} + \vec{O_{4} E}) + (\vec{E O_{1}} + \vec{E O_{2}} + \vec{E O_{3}} + \vec{E O_{4}}) .

În continuare se aplică relația Sylvester. Rezultă în continuare:

2 (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D}) = 2 (\vec{O O_{1}} + \vec{O O_{2}} + \vec{O O_{3}} + \vec{O O_{4}}) + \vec{O_{1} H_{1}} + \vec{O_{2} H_{2}} + \vec{O_{3} H_{3}} + \vec{O_{4} H_{4}} + \vec{E O_{1}} + \vec{E O_{2}} + \vec{E O_{3}} + \vec{E O_{4}}

.

Se va ține cont că $\vec{O O_{1}} + \vec{O_{1} H_{1}} = \vec{O H_{1}}$ și celelalte trei similare.

În continuare, se va ține cont că, deoarece $O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}$ este paralelogram, $Γ$ fiind intersecția diagonalelor, pentru orice punct $M$ din spațiu:

(1) 4 \vec{M Γ} = \vec{M O_{1}} + \vec{M O_{2}} + \vec{M O_{3}} + \vec{M O_{4}},

Deci:

\vec{O O_{1}} + \vec{O O_{2}} + \vec{O O_{3}} + \vec{O O_{4}} = 4 \vec{O Γ}

.

Deoarece $Γ$ este mijlocul segmentului $[O E]$ , rezultă: $\vec{O Γ} + \vec{E Γ} = \vec{0}$ . Se notează $Ω^{'}$ intersecția diagonalelor paralelogramului $H_{1} H_{2} H_{3} H_{4}$ . Aplicând formula (1), se va obține:

\vec{O H_{1}} + \vec{O H_{2}} + \vec{O H_{3}} + \vec{O H_{4}} = 4 \vec{O Ω^{'}}

.

Așadar, $2 (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D}) = 4 \vec{O Ω^{'}}$ .

Mai departe se va ține cont că, deoarece $Ω$ este punctul Mathot al patrulaterului inscriptibil $A B C D$ , există relația:

\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O Ω}

Va rezulta că $4 \vec{O Ω} = 4 \vec{O Ω^{'}}$ , deci $Ω$ coincide cu $Ω^{'}$ și astfel teorema este demonstrată.

Observație. Din relația (1) se poate deduce:

\vec{O_{1} H_{1}} + \vec{O_{2} H_{2}} + \vec{O_{3} H_{3}} + \vec{O_{4} H_{4}} = 4 \vec{Γ Ω}

.

Note

Format:Listănote

↑ Format:Dexonline
↑ Dorin Andrica, Syllabus masterat matematică, Universitatea Babeș-Bolyai, 9 noiembrie 2011, accesat 2021-12-03
↑ Oana Adriana Constandache, Tema 10: patrulatere inscriptibile, puterea punctului fata de cerc, tangente la cerc, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2021-12-04
↑ ^4,0 ^4,1 Format:Dexonline
↑ ^5,0 ^5,1 Format:En icon Format:Citation
↑ ^6,0 ^6,1 Format:En icon Format:Citation
↑ Format:En icon Format:Citation
↑ Format:En icon Format:Citation.
↑ Format:En icon Format:Citation
↑ Format:En icon Format:Citation
↑ Format:En icon Format:Citation
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 ^12,4 ^12,5 Format:En icon Format:Citation
↑ ^13,0 ^13,1 Format:En icon Format:Citation
↑ Format:En icon Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
↑ Format:En icon Format:Citation
↑ D. Mihalcea, I. Chițescu, M. Chiriță - Geometria patrulaterului, Editura Teora, 1998.

Lectură suplimentară

Format:En icon D. Fraivert: Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral

legături externe

Format:En icon Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral
Format:En icon Incenters in Cyclic Quadrilateral la cut-the-knot
Format:En icon Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral la cut-the-knot
Format:En icon Format:MathWorld

Format:Portal Format:Poligoane

[1] Format:Dexonline

[2] Dorin Andrica, Syllabus masterat matematică, Universitatea Babeș-Bolyai, 9 noiembrie 2011, accesat 2021-12-03

[3] Oana Adriana Constandache, Tema 10: patrulatere inscriptibile, puterea punctului fata de cerc, tangente la cerc, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2021-12-04

[DEX-4] 4,0 ^4,1 Format:Dexonline

[Usiskin-5] 5,0 ^5,1 Format:En icon Format:Citation

[Fraivert-6] 6,0 ^6,1 Format:En icon Format:Citation

[7] Format:En icon Format:Citation

[8] Format:En icon Format:Citation.

[9] Format:En icon Format:Citation

[Andreescu-10] Format:En icon Format:Citation

[11] Format:En icon Format:Citation

[Durell-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 ^12,4 ^12,5 Format:En icon Format:Citation

[Alsina2-13] 13,0 ^13,1 Format:En icon Format:Citation

[Johnson-14] Format:En icon Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[15] Format:En icon Format:Citation

[16] D. Mihalcea, I. Chițescu, M. Chiriță - Geometria patrulaterului, Editura Teora, 1998.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

Patrulater inscriptibil

Cuprins

Cazuri particulare

Caracteristici

Centrul cercului circumscris

Unghiuri suplementare

Unghiuri dintre laturi și diagonale

Intersecția diagonalelor

Teorema Ptolemeu

Aria

Diagonale

Formule pentru unghiuri

Anticentrul

Note

Lectură suplimentară

legături externe

Meniu de navigare

Patrulater inscriptibil

Cazuri particulare

Caracteristici

Centrul cercului circumscris

Unghiuri suplementare

Unghiuri dintre laturi și diagonale

Intersecția diagonalelor

Teorema Ptolemeu

Aria

Diagonale

Formule pentru unghiuri

Anticentrul

Note

Lectură suplimentară

legături externe

Meniu de navigare

Căutare