Patrulater circumscriptibil

Un patrulater circumscriptibil cu cercul său înscris

În geometria euclidiană, un patrulater circumscriptibil este un patrulater convex ale cărui laturi sunt toate tangente la un singur cerc. Acest cerc este cercul înscris în patrulater (cercul înscris al patrulaterului). Patrulaterele circumscriptibile sunt un caz particular al poligoanelor circumscriptibile.

Se mai întâlnește și denumirea de patrulater circumscris unui cerc, însă datorită riscului de a fi confundat cu patrulaterul circumscris de un cerc această denumire ar trebui evitată.

Unii autori consideră că noțiunile „patrulater circumscriptibil” și „patrulater circumscris unui cerc” sunt diferite, oferind definiții diferite pentru ele. Însă acele definiții sunt de fapt proprietăți ale aceleiași figuri geometrice.

Toate triunghiurile au un cerc înscris, dar nu toate patrulaterele au unul. Un exemplu de patrulater care nu este circumscriptibil este dreptunghiul (care nu este pătrat).

Cazuri particulare

Exemple de patrulatere circumscriptibile sunt pătratele, romburile și romboizii. Aceștia din urmă sunt patrulatere circumscriptibile care au și diagonalele ortogonale. Romboidul dreptunghic este inscriptibil. Un patrulater care este atât circumscriptibil, cât și inscriptibil este un patrulater bicentric, iar dacă este atât circumscriptibil, cât și trapez se vorbește despre un trapez circumscriptibil.

Caracteristici

Într-un patrulater circumscriptibil cele patru bisectoare (interioare) se întâlnesc în centrul cercului înscris. Invers, un patrulater convex în care cele patru bisectoare se întâlnesc într-un punct este circumscriptibil, iar punctul de intersecție este centrul cercului înscris.

Conform teoremei lui Pitot, sumele lungimilor celor două perechi de laturi opuse dintr-un patrulater circumscriptibil sunt egale cu semiperimetrul Format:Mvar al patrulaterului:

$a+c=b+d=\frac{a+b+c+d}{2}=s.$

Invers, un patrulater în care Format:Mvar este circumscriptibil.Format:Rp^,

Dacă laturile opuse dintr-un patrulater convex Format:Mvar (care nu este un trapez) se intersectează în Format:Mvar și Format:Mvar, atunci acesta este circumscriptibil dacă și numai dacă

$BE+BF=DE+DF$

sau

$AE-EC=AF-FC.$

A doua dintre acestea este aproape aceeași cu una dintre egalitățile din Teorema Urquhart. Singurele diferențe sunt semnele din ambele părți: în teorema lui Urquhart există sume în loc de diferențe.

Altă condiție necesară și suficientă ca un patrulater convex Format:Mvar să fie circumscriptibil este ca cercurile înscrise în cele două triunghiuri Format:Mvar și Format:Mvar să fie tangente unul la celălalt. Format:Rp

O proprietate privind unghiurile formate din diagonala Format:Mvar și cele patru laturi ale unui patrulater Format:Mvar i se datorează lui Iosifescu. El a demonstrat în 1954 că un patrulater convex are un cerc înscris dacă și numai dacă

$\tan \frac{\mathrm{\angle }ABD}{2}\cdot \tan \frac{\mathrm{\angle }BDC}{2}=\tan \frac{\mathrm{\angle }ADB}{2}\cdot \tan \frac{\mathrm{\angle }DBC}{2}.$

Mai mult, un patrulater convex cu laturile (în ordine) Format:Mvar este circumscriptibil dacă și numai dacă

$R_a{R}_c=R_b{R}_d$

unde Format:Mvar sunt razele cercurilor tangente extern la laturile Format:Mvar respectiv Format:Mvar și prelungirile celor două laturi adiacente fiecărei laturi.Format:Rp

Formule

Literatura de specialitate conține formule pentru calculul ariei și a razei cercului înscris în funcție de lungimile laturilor, ale unghiurilor și diagonalelor în funcție de lungimea segmentelor dintre vârfuri și punctele de tangență etc.

Vezi și

• Patrulater exscriptibil

Legături externe

• Format:Commonscat-inline
• Format:En icon Format:MathWorld