Separarea variabilelor

În matematică separarea variabilelor (cunoscută și sub numele de metoda lui Fourier) este una dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor diferențiale ordinare (EDO) și a celor cu derivate parțiale (EDP), care permit rescrierea algebrică a ecuației astfel încât fiecare membru să conțină câte o singură variabilă, diferită de cea din celălalt membru.

Ecuații diferențiale ordinare

O ecuație diferențială pentru funcția necunoscută $f(x)$ va fi separabilă dacă poate fi scrisă sub forma

$\frac{d}{dx}f(x)=g(x)h(f(x))$

unde $g$ și $h$ sunt funcții date. Acest lucru este poate mai limpede atunci când este scris sub forma

$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y).$

Așadar, cât timp Format:Math, termenii se pot rearanja pentru a obține:

$\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx,$

unde cele două variabile, Format:Mvar și Format:Mvar au fost separate. Notația Format:Mvar (și Format:Mvar) poate fi văzută ca fiind doar o notație convenabilă, care oferă un ajutor mnemonic la manipulări. O definiție formală a lui Format:Mvar ca Format:Ill-wd este oarecum convențională.

Notația alternativă

Celor cărora le displace Format:Ill-wd pot scrie asta sub forma

$\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}=g(x),$

însă această formă nu reușește să evidențieze de ce metoda se numește „separarea variabilelor”. Integrând ambii membri ai ecuației în raport cu $x$ se obține

$\int \frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}dx=\int g(x)dx,$

sau, ținând cont de integrarea prin schimbare de variabilă,

$\int \frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx$

Dacă se pot evalua cele două integrale, se poate găsi o soluție la ecuația diferențială. Acest proces permite efectiv tratarea derivatei $\frac{dy}{dx}$ ca o fracție care poate fi separată. Acest lucru permite rezolvarea mai convenabilă a ecuații diferențiale separabile, așa cum este demonstrat în exemplul de mai jos.

De reținut că nu trebuie folosite două constante de integrare, cu ar fi

$\int \frac{1}{h(y)}dy+C_1=\int g(x)dx+C_2,$

deoarece o singură constantă, $C=C_2-C_1$, este echivalentă.

Exemplu

Creșterea populației este adesea modelată de ecuația diferențială „logistică”.

$\frac{dP}{dt}=kP(1-\frac{P}{K})$

unde $P$ este populația în funcție de timpul $t$, $k$ este rata de creștere și $K$ este Format:Ill-wd a mediului. Separarea variabilelor duce acum la

$\begin{array}{cc}& \int \frac{dP}{P(1-P/K)}=\int kdt\end{array}$

care este ușor de integrat, obținându-se

$P(t)=\frac{K}{1+A{e}^{-kt}}$

unde $A$ este constanta de integrare. Se poate determina $A$ în funcție de $P\left(0\right)=P_0$ la $t=0.$ Deoarece $e^0=1,$ se obține

$A=\frac{K-P_0}{P_0}.$

Generalizarea EDO separabile la ordinul al n-lea

Așa cum se poate vorbi despre o EDO separabilă de ordinul întâi, se poate vorbi despre o EDO separabilă de ordinul al doilea, al treilea sau al n-lea. Fie o EDO separabilă de ordinul întâi:

$\frac{dy}{dx}=f(y)g(x)$

Derivata poate fi scrisă alternativ în felul următor pentru a sublinia faptul că este un operator care lucrează pe funcția necunoscută Format:Mvar:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(y)$

Astfel, atunci când se separă variabilele la ecuațiile de ordinul întâi, de fapt se mută numitorul Format:Mvar al operatorului în membrul cu variabila Format:Mvar, iar Format:Math rămâne în membrul cu variabila Format:Mvar. Prin analogie, operatorul „derivată de ordinul al doilea”, se descompune după cum urmează:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}(y))$

Operatorii de derivare de ordinul al treilea, al patrulea și al n-lea se descompun în același mod. Astfel, la fel ca o EDO separabilă de ordinul întâi, care se reduce la forma

$\frac{dy}{dx}=f(y)g(x)$

o EDO separabilă de ordinul al doilea se reduce la forma

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f\left(y^{\prime }\right)g(x)$

iar una separabilă de ordinul al n-lea la forma

$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}=f\left(y^{(n-1)}\right)g(x)$

Exemplu

Fie ecuația diferențială simplă neliniară de ordinul al doilea

$y^{\prime \prime }=(y^{\prime }{)}^2.$

Aceasta este o ecuație doar dacă $y^{\prime \prime }$ și $y^{\prime }$, sunt reductibile la forma generală descrisă mai sus, prin urmare este separabilă. Deoarece este o ecuație separabilă de ordinul al doilea, se separă toate variabilele Format:Mvar într-un membru și toate variabilele Format:Mvar în celălalt pentru a obține

$\frac{d(y^{\prime })}{(y^{\prime }{)}^2}=dx$

apoi se integrează membrul drept în raport cu Format:Mvar și cel stâng în raport cu Format:Mvar

$\int \frac{d(y^{\prime })}{(y^{\prime }{)}^2}=\int dx.$

Acest lucru dă

$-\frac{1}{y^{\prime }}=x+C_1,$

care devine

$y^{\prime }=-\frac{1}{x+C_1}.$

Asta este acum o integrală simplă, care integrată dă răspunsul final

$y=C_2-\ln |x+C_1|.$

Ecuații cu derivate parțiale

Metoda de separare a variabilelor este utilizată și pentru a rezolva o gamă largă de ecuații cu derivate parțiale liniare cu condiții de limită și inițiale, cum ar fi ecuația căldurii, ecuația undei, ecuația lui Laplace, Format:Ill-wd și Format:Ill-wd.

Metoda analitică de separare a variabilelor pentru rezolvarea ecuațiilor cu derivate parțiale a fost generalizată într-o metodă de calcul prin descompunere în structuri invariante, metodă care poate fi utilizată pentru rezolvarea sistemelor de ecuații cu derivate parțiale.

Exemplu: cazul omogen

Fie ecuația căldurii unidimensională:

$\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0$

unde Format:Mvar este temperatura. Condiția la limită este Format:Ill-wd, adică

$u{|}_{x=0}=u{|}_{x=L}=0$

Se caută o soluție care să nu fie identică cu zero care să satisfacă condițiile la limită, dar cu următoarea proprietate: Format:Mvar este un produs în care dependența lui Format:Mvar de Format:Mvar, Format:Mvar este separată, adică:

$u(x,t)=X(x)T(t).$

Substituind Format:Mvar înapoi în prima ecuație și folosind regula de derivare a produsului,

$\frac{T^{\prime }(t)}{\alpha T(t)}=\frac{X^{\prime \prime }(x)}{X(x)}.$

Deoarece membrul drept depinde doar de Format:Mvar iar cel stâng doar de Format:Mvar ambii membri trebuie să fie egali cu o constantă Format:Mvar. Astfel:

$T^{\prime }(t)=-\lambda \alpha T(t),$

și

$X^{\prime \prime }(x)=-\lambda X(x).$

unde Format:Mvar este valoarea proprie a ambilor operatori diferențiali, iar Format:Math și Format:Math sunt Format:Ill-wd.

Se va arăta că soluțiile lui Format:Math pentru valorile lui Format:Math nu pot apărea. Fie Format:Math Atunci există numerele reale Format:Mvar astfel încât

$X(x)=B{e}^{\sqrt{-\lambda }x}+C{e}^{-\sqrt{-\lambda }x}$

Din a doua ecuație se obține

$X(0)=0=X(L)$

și deoarece Format:Math este identică cu Format:Math

Fie Format:Math Atunci există numerele reale Format:Mvar astfel încât

$X(x)=Bx+C$

Din relația precedentă rezultă în același mod că Format:Mvar este identică cu Format:Math Deci, trebuie ca Format:Math Atunci există numerele reale Format:Mvar astfel încât

$T(t)=A{e}^{-\lambda \alpha t}$

și

$X(x)=B\sin (\sqrt{\lambda }x)+C\cos (\sqrt{\lambda }x)$

Cu Format:Math și pentru un număr întreg pozitiv Format:Mvar

$\sqrt{\lambda }=n\frac{\pi }{L}$

Aceasta rezolvă ecuația căldurii în cazul particular în care $u(x,t)$ are forma de mai sus.

În general, suma soluțiilor ecuației inițiale care satisfac condițiile la limită date satisface și $u(x,t).$ Prin urmare, o soluție completă poate fi

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_n\sin \frac{n\pi x}{L}\exp (-\frac{n^2{\pi }^2\alpha t}{L^2})$

Unde Format:Mvar sunt coeficienți determinați din condiția inițială.

Fiind dată condiția inițială

$u{|}_{t=0}=f(x)$

se obține

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_n\sin \frac{n\pi x}{L}$

Asta este o dezvoltare în Format:Ill-wd a lui Format:Math care este susceptibilă de o analiză Fourier. Înmulțind ambii membri cu $\sin \frac{n\pi x}{L}$ și integrând peste Format:Math se obține

$D_n=\frac{2}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$

Această metodă necesită ca funcțiile proprii Format:Mvar, aici ${\{\sin \frac{n\pi x}{L}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},$ să fie ortogonale și Format:Ill-wd. În general, acest lucru este garantat de Format:Ill-wd.

Exemplu: cazul neomogen

Fie ecuația neomogenă

$\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=h(x,t)$

cu aceeași condiție la limită de mai sus. Se dezvoltă Format:Math și Format:Math în

$h(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{h}_n(t)\sin \frac{n\pi x}{L}$

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(t)\sin \frac{n\pi x}{L}$

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\sin \frac{n\pi x}{L}$

unde Format:Math și Format:Mvar pot fi calculate prin integrare, în timp ce Format:Math urmează să fie determinat.

Se substituie Format:Math și Format:Math în prima ecuație și, ținînd cont de ortogonalitatea funcției sinus se obține

$u_n^{\prime }(t)+\alpha \frac{n^2{\pi }^2}{L^2}{u}_n(t)=h_n(t)$

care sunt o succesiune de Format:Ill-wd care pot fi rezolvate ușor, de exemplu prin transformata Laplace sau cu un factor integrant. Se poate obține

$u_n(t)=e^{-\alpha \frac{n^2{\pi }^2}{L^2}t}(b_n+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{h}_n(s)e^{\alpha \frac{n^2{\pi }^2}{L^2}s}ds)$

Dacă condiția la limită este neomogenă, atunci dezvoltările lui Format:Math și a lui Format:Math nu mai sunt valabile. Trebuie găsită o funcție Format:Mvar care să satisfacă numai condiția la limită, funcție care se scade din Format:Mvar. Atunci funcția $u-v$ satisface condiția la limită omogenă și poate fi rezolvată cu metoda de mai sus.

Exemplu: derivate mixte

Pentru unele ecuații care conțin derivate mixte, ecuația nu se separă la fel de ușor cum a fost cazul ecuației căldurii în primul exemplu de mai sus, totuși separarea variabilelor poate fi încă aplicată. Fie Format:Ill-wd bidimensională

$\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^{4}u}{\partial y^4}=0$

Procedând ca de obicei, se caută soluții ale formei

$u(x,y)=X(x)Y(y)$

și se obține ecuația

$\frac{X^{(4)}(x)}{X(x)}+2\frac{X^{″}(x)}{X(x)}\frac{Y^{″}(y)}{Y(y)}+\frac{Y^{(4)}(y)}{Y(y)}=0$

Se pune această ecuație sub forma

$E(x)+F(x)G(y)+H(y)=0$

Derivata acestei expresii în funcție de $x$ este $E^{\prime }(x)+F^{\prime }(x)G(y)=0$ ceea ce înseamnă că $G(y)=const.$ sau $F^{\prime }(x)=0.$ Derivarea în funcție de $y$ duce la $F(x)G^{\prime }(y)+H^{\prime }(y)=0$ și astfel $F(x)=const.$ sau $G^{\prime }(y)=0,$ prin urmare fie Format:Math fie Format:Mvar trebuie să fie o constantă, Format:Mvar. Aceasta mai implică faptul că fie $-E(x)=F(x)G(y)+H(y),$ fie $-H(y)=E(x)+F(x)G(y),$ sunt constante. Revenind la ecuația în Format:Mvar și Format:Mvar, sunt două cazuri

$\begin{array}{cc}{X}^{\prime \prime }(x)& =-{\lambda }_{1}X(x)\\ X^{(4)}(x)& ={\mu }_{1}X(x)\\ Y^{(4)}(y)-2{\lambda }_1{Y}^{\prime \prime }(y)& =-{\mu }_{1}Y(y)\end{array}$

și

$\begin{array}{cc}{Y}^{\prime \prime }(y)& =-{\lambda }_{2}Y(y)\\ Y^{(4)}(y)& ={\mu }_{2}Y(y)\\ X^{(4)}(x)-2{\lambda }_2{X}^{\prime \prime }(x)& =-{\mu }_{2}X(x)\end{array}$

care pot fi rezolvate fiecare luând în considerare cazurile separate pentru ${\lambda }_i<0,{\lambda }_i=0,{\lambda }_i>0$ și ținînd cont că ${\mu }_i={\lambda }_i^2.$

Coordonate curbilinii

În coordonate curbilinii ortogonale, separarea variabilelor poate fi încă folosită, dar unele detalii diferă de cele din coordonatele carteziene. De exemplu, regularitatea sau condițiile periodice pot determina valorile proprii în locul condițiilor la limită.

Aplicații

Ecuații cu derivate parțiale

Pentru multe EDP, cum ar fi ecuația undelor, ecuația Helmholtz și ecuația Schrödinger, aplicabilitatea separării variabilelor este un rezultat al Format:Ill-wd. În unele cazuri nu se pot separa variabilele. Separarea variabilelor poate fi posibilă în unele sisteme de coordonate, dar nu și în altele, și care sisteme de coordonate permit separarea depinde de proprietățile de simetrie ale ecuației. Mai jos este un exemplu care demonstrează aplicabilitatea metodei la anumite ecuații liniare, deși metoda precisă poate diferi în cazuri individuale, de exemplu, în ecuația biarmonică.

Fie o problemă inițială a valorii la limită pentru o funcție $u(x,t)$ pe $D=\{(x,t):x\in [0,l],t\ge 0\}$ în două variabile:

$(Tu)(x,t)=(Su)(x,t)$

unde $T$ este un operator diferențial în funcție de $x,$ iar $S$ este un operator diferențial în funcție de $t$ cu datele la limită:

$(Tu)(0,t)=(Tu)(l,t)=0$ pentru $t\ge 0$

$(Su)(x,0)=h(x)$ pentru $0\le x\le l$

unde $h$ este o funcție cunoscută.

Se caută o soluție de forma $u(x,t)=f(x)g(t).$ Împărțind EDP cu $f(x)g(t)$ se obține

$\frac{Tf}{f}=\frac{Sg}{g}$

Membrul drept depinde numai de $x,$ iar cel stâng numai de $t,$ așa că ambele trebuie să fie egale cu o constantă $K,$ care dă două ecuații diferențiale ordinare

$Tf=Kf,Sg=Kg$

care pot fi recunoscote ca probleme cu valori proprii pentru operatorii $T$ și $S.$ Dacă $T$ este un operator compact, autoadjunct pe spațiul $L^2[0,l]$ împreună cu condițiile la limită relevante, atunci după teorema spectrală există o bază pentru $L^2[0,l]$ constând din funcții proprii ale lui $T.$ Fie $E$ Format:Ill-wd lui $T$ și fie $f_{\lambda }$ o funcție proprie cu valoare proprie $\lambda \in E.$ Atunci, pentru orice funcție care pentru fiecare $t$ este integrabilă în funcție de $x,$ se poate scrie această funcție ca o combinație liniară de $f_{\lambda }.$ În particular, se știe că soluția $u$ poate fi scrisă ca

$u(x,t)=\sum _{\lambda \in E}{c}_{\lambda }(t)f_{\lambda }(x)$

pentru unele funcții $c_{\lambda }(t).$ La separarea variabilelor, aceste funcții sunt date de soluțiile $Sg=Kg.$ Prin urmare, teorema spectrală asigură că atunci când este posibil separarea variabilelor va găsi toate soluțiile.

Pentru mulți operatori diferențiali, cum ar fi $\frac{d^2}{d{x}^2},$ se poate arăta că aceștia sunt autoadjuncți la integrarea prin părți. În timp ce acești operatori pot să nu fie compacți, inverșii lor (când există) pot fi, ca în cazul ecuației undei, iar acești inverși au aceleași funcții proprii și valori proprii ca și operatorul original (cu posibila excepție a lui zero).

Matrici

Forma matricială a separării variabilelor este suma Kronecker.

Ca exemplu, fie laplacianul discret bidimensional pe o rețea regulată:

$L={𝐃}_{𝐱𝐱}\oplus {𝐃}_{𝐲𝐲}={𝐃}_{𝐱𝐱}\otimes 𝐈+𝐈\otimes {𝐃}_{𝐲𝐲},$

unde ${𝐃}_{𝐱𝐱}$ și ${𝐃}_{𝐲𝐲}$ sunt lapacienii discreți unidimensionali în direcțiile Format:Mvar și respectiv Format:Mvar iar $𝐈$ sunt identitățile dimensionale adecvate.

Software

Unele aplicații software matematice sunt capabile să facă separarea variabilelor, de exemplu Xcas.

Bibliografie

• Gheorghe Aniculăesei, Ecuații parabolice și hiperbolice (curs), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2025-02-18
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book

Legături externe

• Format:En icon Format:Springer
• Format:En icon Format:Mathworld
• Format:En icon Format:Mathworld
• Format:En icon Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations
• Format:En icon Examples of separating variables to solve PDEs

• Format:En icon "A Short Justification of Separation of Variables"